Lettre de février 2014 (améliorée le 12 juillet 2014) 100000000000Retour à Journal

La physique du spin

Expériences sur le spin et comment le formalisme de la Physique Quantique les comprend.

La lettre précédente (Expérience de Stern et Gerlach) décrivait un appareillage curieux, conçu pour mesurer les moments cinétiques des atomes. On l'appelle un appareil de Stern-Gerlach, ou plus simplement un Stern-Gerlach.

Otto Stern et Walther Gerlach l'ont mis au point en 1922 pour mesurer le moment cinétique des atomes d'argent. Le résultat fut spectaculaire. Les moments cinétiques apparaissent discontinus au niveau atomique. Ce qui était soupçonné par les hypothèses audacieuses de Niels Bohr devenait tout à coup réalité.

En fait Stern et Gerlach ne mesurèrent pas le moment cinétique des atomes d'argent mais leur spin. Objet mystérieux, sans correspondant en Physique Classique, le spin est un moment cinétique intrinsèque, que l'atome d'argent porte toujours même en l'absence de rotation. Voir plus de détails dans Promenades dans le Monde Quantique au chapitre intitulé Le spin.

L'absence d'une tache intermédiaire dans l'expérience de Stern-Gerlach, qui devrait provenir d'atomes sans moment cinétique, était une surprise. A l'état d'énergie la plus basse les atomes sont sans moment cinétique. Il fallait donc admettre l'existence d'une sorte de moment cinétique au repos, dit spin. Le spin est une caractéristique d'un atome. Il a une longueur fixe, mais sa direction est variable.

Cette lettre présente des expériences étonnantes sur le spin et tente de les comprendre. Finalement il faudra introduire le formalisme de la Physique Quantique pour en rendre compte.


1. Expériences avec des Stern-Gerlach

Puisqu'on dispose d'un magnifique appareil, autant en profiter pour tenter toutes sortes d'expériences.

1re expérience: avec un Stern-Gerlach

Expérience de Stern et Gerlach

Rappelons l'expérience de base. Un faisceau d'atome d'argent traversant un Stern-Gerlach est divisé en deux, suivant la direction du champ magnétique de l'appareil. Notons que les deux faisceaux sortants sont de taille égale, comportant chacun 50% des atomes. (J'ai inversé les pôles pour plus de clarté dans les dessins qui suivent.)

Schéma de Stern-Gerlach

Pour dessiner la suite des expériences, il est utile de schématiser un peu plus cette image. Un Stern-Gerlach sera représenté par un rectangle contenant l'axe du faisceau entrant et le champ magnétique B. De plus le rayon dévié qui nous intéressera sera dessiné tout droit.

2e expérience: avec 2 Stern-Gerlach

Pour compliquer le jeu nous allons disposer deux Stern-Gerlach l'un après l'autre. On obtient des résultat intéressant si on interrompt le faisceau inférieur de la première machine. Donc seul le faisceau supérieur entre dans le 2e Stern-Gerlach. Voici ce qu'on observe.

Deux Stern-Gerlach identiques

A la sortie du 2e Stern-Gerlach il n'y a pas de faisceau inférieur. Le fait pour un atome d'être dans le faisceau supérieur est une propriété stable.

Deux Stern-Gerlach d'un angle alpha

Faisons tourner le 2e Stern-Gerlach autour de l'axe du faisceau entrant. Notons α l'angle de rotation du champ B. Le faisceau sortant se sépare en deux, dans la direction du 2e B. La nouvelle tache est d'abord petite, puis augmente lorsque l'angle croît.

Deux Stern-Gerlach perpendiculaires

A 90 degré les taches sont dans le plan horizontal, comme B, et sont de taille égale. En continuant de tourner la deuxième machine les deux taches suivent le mouvement, mais la plus basse devient plus faible.

Deux Stern-Gerlach opposés

Finalement à 180 degré on ne trouve plus qu'une tache, en haut. Le faisceau du bas a disparu. On obtient la même image qu'au départ.


3e expérience: avec 3 Stern-Gerlach

Un résultat expérimental surprenant est obtenu avec trois appareils successifs. On reprend l'une des expériences ci-dessus, dans laquelle le deuxième Stern-Gerlach est incliné de 90 degrés. Il en sort deux faisceaux, séparés horizontalement. On interrompt l'un, disons celui vers l'avant, et on introduit l'autre dans un troisième Stern-Gerlach, identique au premier.

Trois Stern-Gerlach

On observe de nouveau deux taches de taille égale, placées verticalement, comme après le premier Stern-Gerlach! Le faisceau inférieur, qui avait été interrompu, a réapparu! La propriété d'un atome d'être dans le faisceau supérieur n'est donc pas une propriété stable?

On verra que c'est le fait d'avoir interrompu l'un des faisceaux horizontaux qui a en quelque sorte "régénéré" des atomes de spin incliné vers le bas.


2. Une tentative d'explication

Voyons si nous pouvons comprendre de tels résultats, en raisonnant dans l'esprit de la Physique Classique, tout en admettant sans explication la discontinuité des faisceaux.

Admettons donc que l'appareil de Stern-Gerlach sépare les atomes en deux groupes selon l'orientation des spins. La direction considérée est celle du champ magnétique B. Les atomes dont le spin pointe plutôt dans la direction de B constituent le premier faisceau, les autres le second.

Déviation selon les spins

Dans la première expérience le champ B est vertical et orienté vers le haut. Les atomes dont le spin pointe plutôt dans cette direction (ayant les spins dessinés en verts) constituent le faisceau "up", les autres (en bleu) le faisceau "down".

Explication pour un angle alpha

Dans la deuxième expérience on ne garde que les atomes de spin "up". Donc seulement les flèches vertes. En tournant le 2e Stern-Gerlach on change la direction du champ B, ce qui détermine autrement les deux faisceaux sortants. Pour un angle α petit on observe l'apparition d'un faible 2e faisceau, formé des atomes de spin légèrement opposés à B.

Explication pour des Stern-Gerlach perpendiculaires

Lorsque l'angle de rotation augmente le 2e faisceau prend de l'importance et le 1er diminue. Si l'angle vaut 90 degrés les deux faisceaux sont de taille égale.

Explication pour des Stern-Gerlach opposés

Finalement lorsque l'angle atteint 180 degrés il n'y a plus que le 2e faisceau.

Comme on le constate, ces explications sont tout à fait pertinentes pour tout ce qui concerne les 1re et 2e expériences.

Et la 3e expérience? Après avoir interrompu le faisceau inférieur à la sortie du 1er Stern-Gerlach (ne restent que les flèches vertes) puis avoir bloqué le faisceau vers l'avant (1er faisceau) à la sortie du 2e il ne reste que les atomes dont le spin est dirigé vers le haut et vers l'arrière. Regardons en détail ce qu'il reste après chaque étape.

Explication pour 3 Stern-Gerlach

Le 1er Stern-Gerlach sépare les atomes de spin vers le haut (verts) de ceux vers le bas (bleu). À la sortie on interrompt le faisceau vers le bas: il ne reste que les spins vers le haut (verts). Le 2e Stern-Gerlach sépare les atomes de spin vers l'avant (1er faisceau) de ceux vers l'arrière (2e faisceau). À la sortie on interrompt le faisceau vers l'avant: il ne reste que les spins vers le haut et vers l'arrière. Le 3e Stern-Gerlach ne change rien, puisque tous les spins sont dirigés selon B. En particulier, on n'observe aucune apparition d'atomes de spin vers le bas!

Cette tentative d'expliquer les résultats des expériences échoue donc lamentablement!


3. Formalisation quantique

Passons à la formalisation de la Physique Quantique. Comme au §2 nous admettrons la discontinuité des faisceaux, pour nous concentrer sur les résultats des expériences avec deux et trois Stern-Gerlach. Nous allons voir qu'il existe un formalise qui en donne une interprétation cohérente.

La notion d'état

Tout repose sur la notion d'état. Le premier Stern-Gerlach sépare les atomes dans l'état spin "up" de ceux dans l'état spin "down". La première expérience avec deux Stern-Gerlach montre que ce qu'on entend par état est cohérent: les atomes dans l'état spin "up" le restent, tant qu'on ne les brutalise pas.

La notion d'état est aussi essentielle en Physique Classique. Elle sert aussi à caractériser un système à un moment donné. Mais il y a ici une différence capitale: en Physique Quantique les états peuvent s'additionner. Mathématiquement ils forment ce qu'on appelle des vecteurs.

Vecteur

Rappel d'algèbre vectorielle: un vecteur est une flèche partant d'un point O dans un espace à 2, 3 (ou plus) dimensions. Un vecteur est défini par:
0- sa direction,
0- son sens le long de cette direction,
0- sa longueur.

On introduit deux opérations sur les vecteurs. La première est l'addition. On définit la somme de deux vecteurs comme le vecteur porté par la diagonale du parallélogramme généré par les deux vecteurs. Voici quelques exemples.

Somme de vecteurs

L'addition (en vert) peut être un vecteur plus long (1er cas), plus court (2e cas) ou même nul (3 cas).

La deuxième opération est la projection. On définit la projection d'un vecteur sur un autre comme la grandeur sous laquelle un vecteur "voit" l'autre. Un dessin le décrit mieux qu'un texte.

projection d'un vecteur sur un autre

La projection (en rouge) peut être positive (1er cas), négative (2e cas) ou nulle (3e cas). Notons que la projection d'un vecteur a sur un vecteur b de même longueur est égale à la projection du vecteur b sur le vecteur a (le lecteur consciencieux peut le vérifier graphiquement, avec règle et équerre). La projection est nulle si les vecteurs sont perpendiculaires.

Donc, la Physique Quantique considère que les états sont représentés par des vecteurs, mais pas n'importe lesquels. Comme on ne s'intéresse qu'à la direction de ces vecteurs, et non à leur longueur, on décide, pour simplifier, de représenter les états par des vecteurs de longueur 1.

Somme d'états

Dans le cas qui nous intéresse, les états possibles des spins des atomes se trouvent dans un cercle de centre O et de rayon 1. Le lecteur habile va objecter que la somme de deux vecteurs de longueur 1 a une longueur généralement différente. Aussi on fera une entorse à la règle de l'addition en allongeant ou rétrécissant le vecteur somme jusqu'à la longueur 1.

Que faire dans le cas où l'addition donne 0? Heureusement nous ne le rencontrerons pas!

Dans la 1re expérience de Stern-Gerlach les atomes sont séparés en deux groupes, ceux ayant un spin "up" et ceux ayant un spin "down". Ces états étant totalement disjoints on les considère comme perpendiculaires. Ainsi la projection de l'un sur l'autre est nulle. Avant d'entrer dans l'appareil les atomes ont un spin quelconque. En moyenne on admet qu'ils sont dans un état "up + down".

Etat up plus down

Remarquons que l'état "up + down" (en vert) a la même projection sur l'état "up" et sur "down" (en orange), et qui vaut 1/2.

A quoi peuvent servir ces projections? D'autre part en Physique on veut des valeurs numériques qu'on puisse comparer aux résultats des expériences. Où sont ces valeurs?

La notion de mesure

En Physique Quantique les mesures donnent des résultats aléatoires. On a donc besoin d'une prescription qui puisse relier la théorie aux expériences.

La Physique Quantique donne bien des résultats aléatoires, mais leur probabilité ne l'est pas. C'est cette probabilité que nous devons définir. La prescription alors est la suivante:

0La probabilité qu'un atome dans un certain état est observé dans un autre état
0est donnée par le carré de la projection d'un état sur l'autre.

Par exemple, la probabilité qu'un atome dans l'état "spin up" est observé dans l'état "spin down" est nulle, puisque ces états sont perpendiculaires. La probabilité qu'un atome dans l'état "spin up" est observé dans l'état "spin up" (deux fois le même état) est 1, soit 100%.

Autre exemple: la probabilité qu'un atome entrant dans le 1er Stern-Gerlach (état "up + down" en vert) se retrouve dans l'état "up" (orange) est
0(1/2)2 = 1/2
soit une probabilité de 50%. De même, la probabilité qu'un atome entrant dans le 1er Stern-Gerlach (état vert) se retrouve dans l'état "down" (orange) est de ½, soit encore 50%. On est en parfait accord avec l'expérience!


4. Formalisme quantique et les expériences avec 2 Stern-Gerlach

Il reste à montrer que le formalisme de la Physique Quantique explique aussi les autres expériences. Dans celles avec 2 Stern-Gerlach on commence par interrompre le faisceau inférieur. Donc nous partons avec seulement les états "up", soit 50% des atomes. Le 2e Stern-Gerlach, tourné d'abord d'un angle α très petit, effectue une séparation des spins dans une autre direction. Il y a donc deux nouveaux états perpendiculaires, très proches des états "up" et "down".

Etats après une petite rotation

Ces deux nouveaux états (en bleu) s'obtiennent des états "up" et "down" par une simple rotation. De quel angle? On le trouve en mesurant les projections de l'état "up" sur les nouveaux états et en comparant avec les données des expériences.

Etats après une rotation de 90 degré

Le plus simple est de considérer le cas α = 90 degrés, où les deux projections, rappelons-le, doivent être les mêmes. C'est ce qu'on obtient avec une rotation des vecteurs bleus de 45 degrés.

On en déduit que pour une rotation du 2e Stern-Gerlach d'un angle α la rotation des états par rapport aux "up" et "down" doit être de α/2.

Etats après une rotation de 180

Le dernier cas à considérer est celui d'une rotation du 2e Stern-Gerlach d'un angle de 180 degrés, et donc de 90 degrés des états. La projection de l'état "up" sur l'un des états bleus est totale, et elle est nulle sur l'autre. Il ne reste donc que l'état "up", conformément au résultat des expériences.

Dans chaque cas on peut mesurer les projections et en déduire la probabilité des états. Etant parti avec seulement l'état "up" (probabilité de ½) on obtient, par exemple pour l'état "derrière" du cas α = 90 degrés, une nouvelle probabilité de ½, et donc une probabilité totale de ½ • ½ = ¼ (on multiplie les probabilités lors d'une succession d'évènements indépendants), soit de 25%.


5. Formalisme quantique et l'expérience avec 3 Stern-Gerlach

Après le 2e Stern-Gerlach on interrompt le faisceau "devant". Il ne reste plus que l'état "derrière", avec une probabilité de 25%.

Etats après 3 Stern-Gerlach

Le 3e Stern-Gerlach est le même que le 1er. Il sépare donc les états "up" et "down". La projection de "derrière" sur chacun de ces états vaut de nouveau 1/2, ce qui conduit à une probabilité de ½. La probabilité totale d'obtenir la régénération d'un état "down" est alors ½ • ½ • ½ = 1/8, soit 12,5%, conformément aux données expérimentales.

Le formalisme de la Physique Quantique, tel que présenté ci-dessus, reproduit donc magistralement les résultats surprenants des expériences sur le spin.

Il est capital de constater que, selon ce formalisme, c'est l'interruption du faisceau "devant" qui permet la réapparition des états "down". Sans cette opération, cette régénération n'aurait pas lieu. A l'échelle atomique, la manipulation d'un objet pendant qu'on l'étudie a des effets surprenants, et le formalisme de la Physique Quantique en rend parfaitement compte.


6. Résumé du formalisme de la Physique Quantique

Le formalisme de la Physique Quantique est une construction mathématique qui reproduit les données des expériences. Comme il est plutôt abstrait il est utile de reprendre ses étapes.

A la base il y a la notion d'état, avec une propriété étrange: les états d'un objet physique peuvent s'additionner. L'origine de cette propriété est à chercher dans l'hypothèse de de Broglie, selon laquelle tout objet du monde atomique doit être traité comme une onde.

De cette propriété d'addition il suit que les états sont des vecteurs. Pour des raisons de cohérence (voir plus loin) on ne considère que des vecteurs de longueur 1, ce qui nécessite d'adapter la règle de l'addition.

Un autre opération qu'on déduit des vecteurs est la projection d'un état sur un autre.

Les mesures sur des objets à l'échelle atomique donnent des résultats aléatoires, mais elles satisfont des probabilités bien définies. La prescription pour les déterminer est la suivante: la probabilité qu'un objet dans un certain état soit observé dans un autre état est donnée par le carré de la projection d'un des états sur l'autre.

L'origine de cette prescription provient de l'interprétation des ondes quantiques donnée par Max Born. Notons qu'elle nécessite que les états soient des vecteurs de longueur 1.

Le formalisme de la Physique Quantique donné ci-dessus est puissant mais hélas pas complet. En effet, nous avons admis la discontinuité des faisceaux sortant d'un Stern-Gerlach. Le fait que les mesures des moments cinétiques, ou des spins, ne donnent que certaines valeurs, doit aussi pouvoir se déduire! En fait le formalisme de la Physique Quantique permet de rendre compte de cette curiosité, mais ce point dépasse le cadre de cette lettre.


7. Références

- Mécanique Quantique, Richard Feynman, Chapitre 5.

- Mécanique Quantique, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Chapitre IV.


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