Lettre de juin 2014 1000000000000000000000000000000Retour à Journal

Max Planck et le problème du corps noir

La découverte de Planck qui est à l'origine de la Physique Quantique.

Après l'apothéose de la dernière lettre (La physique du spin) exposant le formalisme de la Physique Quantique appliqué au système le plus simple, il est nécessaire de faire une pause, et de revenir en arrière pour réfléchir aux fondements historiques de cette théorie. Nous allons reprendre le bref exposé sur La physique des quanta donné dans ce site, sous le menu Introduction, en le développant.

Le formalisme quantique présenté dans la lettre précédente a beau concerner le cas le plus simple, il n'en demeure pas moins étrange et non intuitif. En fait, il rend bien compte des résultats expérimentaux, mais ne les explique pas! Comment la Physique, ce chef-d'œuvre depuis Newton de pertinence et de clarté, a-t-elle pu s'empêtrer dans un tel piège?

Pour se pencher sur ce paradoxe, il vaut la peine de reprendre la question à ses débuts. La Physique Quantique est née le 14 décembre 1900 à l'Académie des Sciences de Berlin. Max Planck y proposa une solution du lancinant problème du corps noir, qu'il avait mis vingt ans à obtenir. Or il avait beau avoir résolu le problème, sa solution ne le satisfaisait pas. Car elle conduisait à des développements surprenants, loin de tout ce qui n'avait jamais été observé.

On appelle corps noir en physique un objet qui reste noir quel que soit son éclairage. Une feuille peinte à l'encre de chine noire, ou même un tissu de velours noir, apparaissent blancs s'ils sont violemment éclairés. Le corps noir est une idéalisation.

Un corps noir

Une enceinte métallique munie d'un petit trou est ce qui s'en approche le plus. La lumière qui y pénètre est réfléchie par les parois et reste piégée dans l'enceinte. Le corps noir, c'est seulement le petit trou. Il reste noir même fortement éclairé, pourvu qu'on ne le regarde pas trop de face.

Ce qui intriguait les physiciens du XIXe siècle, c'est le problème du corps noir. Il s'agissait d'étudier ce qui se passe dans une telle enceinte (avec ou sans trou), à une température donnée.


1. Le problème du corps noir

Considérons une enceinte métallique fermée. Tant que sa température n'est pas au zéro absolu, les atomes des parois vibrent. Comme ils contiennent des électrons et des protons, donc des particules chargées électriquement, les vibrations émettent de la lumière, comme l'a découvert Maxwell (voir le 8e chapitre des Promenades dans le Monde Quantique). Le problème du corps noir consiste à étudier la composition de la lumière dans l'enceinte, lorsqu'elle a atteint un état d'équilibre, à une certaine température fixée.

C'est Gustav Kirchhoff, en 1862, alors à l'Université Humboldt de Berlin, qui souleva ce problème, constatant qu'il s'agissait là d'un phénomène fondamental. Il avait observé que les objets chauffés émettaient tous la même lumière, quelque soit leur matière, s'ils sont portés à la même température. Il en déduisit que l'émission de lumière par la matière devait posséder un caractère universel, ne dépendant que de la température. Le corps noir lui sembla l'objet idéal pour cette étude, protégé des influences extérieures parasites.

Or ce problème du corps noir s'avéra très difficile, parce qu'il touchait à plusieurs disciplines à la fois:
10- l'électromagnétisme, pour traiter la lumière,
10- la mécanique, pour les vibrations des atomes des parois,
10- la thermodynamique, pour gérer la température,
10- les mathématiques statistiques, pour maîtriser toutes les ondes de lumière émises.

Il est toujours difficile en Science de traiter de sujets mélangeant différents domaines, tant la recherche est complexe et donc spécialisée. C'est l'apanage des plus grands génies, tels que Maxwell.

James Clerk Maxwell n'est pas seulement l'inventeur de l'électromagnétisme et de son extraordinaire explication de la lumière. Il a aussi montré que les lois des gaz parfaits (définis ci-dessous) se déduisent de la mécanique classique grâce à une approche statistique. Il en déduisit la première interprétation mécanique de la température.

Maxwell considère les gaz comme des corps constitués d'innombrables molécules en mouvements très rapides, se cognant entre elles et contre les parois. Un gaz est appelé gaz parfait si les molécules n'ont pas d'autre interaction que les chocs (elles ne subissent ni attraction ni répulsion). C'est bien sûr une idéalisation, cependant l'atmosphère se comporte approximativement comme un gaz parfait.

Maxwell traite ces mouvements selon la mécanique de Newton. Le nombre de molécules d'un gaz étant énorme, seule une approche statistique est possible. Elle lui permet de déterminer la vitesse moyenne, dont il déduit la pression du gaz. En comparant ses résultats avec les lois des gaz parfaits déjà découvertes, il obtient une surprise de taille, une interprétation mécanique de la température, qui se trouve reliée à l'énergie moyenne des molécules. En formule:
10Emoyenne = KT
T est la température absolue (en degrés Kelvin) et K une certaine constante. L'énergie moyenne Emoyenne est la somme des énergies de toutes les molécules divisée par le nombre de molécules.

Cela peut-il aider à aborder le problème du corps noir? Les rayons lumineux dans l'enceinte sont effectivement sans interaction entre eux (ils ne se choquent même pas, il se traversent sans se remarquer!), mais peut-on les considérer comme un ensemble de particules? Certainement pas à cette époque!


2. La loi de Rayleigh-Jeans

Les physiciens anglais John William Strutt, dit Lord Rayleigh, et James Jeans ont trouvé une loi pour la répartition de l'énergie du rayonnement selon la longueur d'onde dans un corps noir à l'équilibre et à température donnée.

Raisonnant d'abord sur les ondes lumineuses possibles, ces auteurs ont constaté qu'elles doivent nécessairement s'annuler sur les parois. En effet, pour qu'il y ait situation d'équilibre, les parois ne doivent pas subir de forces électriques, ce qui provoquerait des courants perturbateurs. Or les ondes lumineuses sont constituées de champs électrique et magnétique. Ces champs doivent donc s'annuler sur les parois.

Pour saisir l'importance de cette restriction, observons quelques dessins. J'ai reporté dans un carré toutes les ondes possibles de même longueur d'onde partant d'un même point d'une paroi, et qui sont nulles au départ et à l'arrivée.

Ondes possibles à 2 dimensions

On constate aisément que le nombre d'ondes possibles augmentent lorsque la longueur d'onde diminue. Ce fait se traduit dans la loi de Rayleigh-Jeans de la façon suivante.

La répartition d'énergie Eλ en fonction de la longueur d'onde de la lumière, pour une longueur d'onde λ, d'un corps noir à l'équilibre et à la température T, est donnée par la relation suivante (Note: les formules mathématiques qui suivent sont données à titre illustratif, il n'est pas nécessaire de les maîtriser):

Loi de Rayleigh-Jeans

C est une certaine constante (c'est-à-dire: C est un nombre indépendant de λ et de T). Ici Eλ représente "la répartition d'énergie en fonction de la longueur d'onde", ou "l'énergie par longueur d'onde" pour la longueur d'onde λ (plus précisément, l'énergie de toutes les ondes de longueurs d'onde comprises entre λ et λλ, pour Δλ très petit, est donnée par EλΔλ).

Essayons de comprendre comment cette relation a été trouvée, en reprenant les arguments de Rayleigh et Jeans, pour en exhiber les hypothèses. Pour ne pas se perdre dans les calculs nous nous limitons à un cas plus simple, celui d'une enceinte à une dimension, de longueur a.

Dessinons les ondes possibles, soit celles qui s'annulent aux extrémités. Cet ensemble commence par:

Ondes possibles à 1 dimensions

etc ... En fait il y a une infinité d'ondes possibles. Pour tout nombre entier n il y a une onde de longueur d'onde λ = 2a/n. Cela défini une relation entre nombres et longueurs d'onde que nous notons nλ = 2a/λ.

Admettons que toutes ces ondes sont présentes, et chacune une fois (hypothèse d'équipartition), et calculons le nombre d'ondes possibles de longueurs d'onde entre λ et λλ, dans le domaine où λ est beaucoup plus petit que a. Notons ce nombre NλΔλ.

Calcul du nombre d'ondes

En divisant par Δλ, puis en prenant la limite Δλ → 0 on obtient:

densité du nombre d'ondes

Ajoutant à l'hypothèse d'équipartition celle qui attribue à chaque onde une énergie moyenne KT. L'énergie totale étant le produit du nombre d'objet fois leur énergie moyenne, on obtient la formule

Répartition d'énergie à une dimension

Le travail de Rayleigh-Jeans reprend les mêmes arguments, donc les mêmes hypothèses, mais pour une enceinte à 3 dimensions, ce qui complique la géométrie et modifie en conséquence le résultat.


3. Confrontation entre la loi de Rayleigh-Jeans et l'expérience

La loi de Rayleigh-Jeans ayant été obtenue sous certaines hypothèses, elle n'a de valeur que si elle concorde avec les données expérimentales.

L'expérience a été abondamment effectuée, pour un grand nombre de température différente. Le résultat est typiquement celui donné ci-dessous.

Test de la loi de Rayleigh-Jeans

Pour les petites longueurs d'onde (dans l'ultra-violet) l'énergie par longueur d'onde est d'abord petite et croît jusqu'à un maximum, puis en s'approchant de l'infra-rouge elle décroit pour tendre vers 0 à l'infini. La loi de Rayleigh-Jeans reproduit bien les données des expériences dans l'infra-rouge lointain, mais s'en écarte complètement dans l'ultra-violet.

On constate un excellent accord entre la loi de Rayleigh-Jeans et l'expérience pour les grandes longueurs d'onde, soit dans l'infra-rouge lointain. Par contre la comparaison est catastrophique dans l'ultra-violet. Non seulement elle s'en écarte fortement, mais de plus elle conduit à une absurdité: elle prédit une énergie infinie pour les longueurs d'onde proche de zéro! Le physicien Paul Ehrenfest a résumé ce fait dans une formule célèbre: la physique classique appliquée au problème du corps noir conduit à une catastrophe ultra-violette!


4. Loi du rayonnement de Wien

Parallèlement aux travaux de Rayleigh et Jeans, le physicien allemand Wilhelm Wien se lança dans la résolution du problème du corps noir en utilisant une toute autre approche.

Les ondes lumineuses à l'intérieur d'un corps noir ne peuvent provenir que des vibrations des atomes des parois. Les atomes contenant des particules chargées électriquement, il suit de l'électromagnétisme de Maxwell que leurs oscillations provoquent l'émission de lumière.

L'approche de Wien repose sur trois piliers:
10- la théorie statistique de Maxwell pour les gaz, adaptée aux atomes des parois,
10- l'universalité de la répartition de l'énergie du corps noir, énoncée par Kirchoff,
10- des observations sur la répartition d'énergie du corps noir à différentes températures.

De la théorie statistique de Maxwell, valable pour les gaz parfaits, Wien reprend la formule de la répartition de la vitesse des constituants, qu'il applique aux molécules des parois du corps noir. Comme elles ne se déplacent pas, les seuls mouvements possibles sont des vibrations, ce qui permet d'exprimer les vitesses en terme de fréquences. Les particules chargées, électrons et protons des molécules, émettent en vibrant des ondes lumineuses de même fréquence, dont on déduit la longueur d'onde λ (puisque la lumière a une vitesse fixe, fréquence et longueur d'onde sont liées).

De l'universalité du corps noir Wien déduit que la répartition de l'énergie Eλ ne dépend que de la longueur d'onde λ et de la température T. En réunissant ces deux conditions il arrive à la formule générale suivante

Précurseur de la loi de Wien

F(λ) et f(λ) sont des fonctions à déterminer. Notons la dépendance particulière en la température T, qui vient de la théorie statistique de Maxwell.

Pour trouver les fonctions inconnues, Wien fait appel à des travaux qu'il avait effectués avec Boltzmann. En variant la température, on obtient des répartitions d'énergie qui suivent certaines propriétés:
10- l'énergie totale émise croît comme la température à la puissance 4
100 (ce fait est actuellement connu sous le nom de loi de Stephan-Boltzmann),
10- les différentes courbes se ressemblent. Elles peuvent s'obtenir les unes des autres
100 par des changements d'échelle des axes.

Spectre du corps noir à diverses températures


Dans le graphique suivant, on a reporté la répartition d'énergie du corps noir obtenue expérimentalement pour trois températures différentes. Ces courbes en fait se ressemblent. En effectuant des changements d'échelle des deux axes on peut transformer l'une des courbes dans une autre.

En utilisant astucieusement ces propriétés, Wien parvient à trouver les fonctions F(λ) et f(λ), à des constantes près. Il obtient le résultat suivant.

Loi de Wien

La loi du rayonnement de Wien, comme on appelle cette formule, ayant été obtenue sous certaines hypothèses, elle nécessite aussi une confrontation avec les données expérimentales. Or le résultat cette fois est spectaculaire, comme le montre le graphique type ci-dessous.

Spectre du corps noir et les lois de
               Rayleigh-Jeans et de Wien

On observe une parfaite concordance entre la loi du rayonnement de Wien (en vert) et les données de l'expérience (en noir) dans le domaine ultra-violet. Par contre dans l'infra-rouge, c'est la loi de Rayleigh-Jeans (en rouge) qui prend le relai.

Dans l'ultra-violet, et particulièrement aux petites longueurs d'onde, la correspondance entre la loi du rayonnement de Wien et les données expérimentales est excellente. Par contre pour les grandes longueurs d'onde, les courbes s'écartent et c'est la loi de Rayleigh-Jeans qui approche le mieux la réalité.


5. Le travail de Max Planck

Pendant plus de 20 ans Max Planck s'est consacré aux difficultés qui sont au cœur de la thermodynamique, et qui concernent la compréhension des phénomènes irréversibles.

Parmi les innombrables phénomènes de la nature on distingue ceux qui sont réversibles (comme les mouvements mécaniques) et ceux qui ne le sont pas. L'exemple type de phénomène irréversible est la propagation de la chaleur, qui va de la température haute vers la basse, et jamais dans l'autre sens.

Comment comprendre et décrire par la physique ces différents comportements? C'est la question centrale qui occupait Max Planck à l'université Humboldt de Berlin. Peu à peu il s'orienta vers le problème du corps noir, convaincu, vu son universalité, qu'il pouvait détenir la clé de la question.

Parallèlement, Ludwig Boltzmann travaillait sur le même sujet, à l'université de Vienne. Développant la théorie statistique de Maxwell il obtient une approche probabiliste de l'irréversibilité. Selon sa conception, c'est en effectuant une analyse statistique sur un grand nombre de molécules que l'irréversibilité apparaît et peut être étudiée.

Or Planck n'était pas satisfait du travail de Boltzmann. Il lui reprochait l'utilisation de la théorie atomique. Les atomes étaient indispensables à la chimie, mais à cette époque, il n'y avait pas d'évidence de physique expérimentale sur leur existence. Aussi Planck considérait le recours à cette théorie, qui rendait les choses plus accessibles, comme une solution de facilité.

Cependant, tout en travaillant sur le problème du corps noir, il devait bien admettre que la loi de rayonnement de Wien était terriblement efficace. Aussi il mit ses appréhensions momentanément de côté pour établir une théorie complète du problème du corps noir. Si elle ne le satisfaisait pas, il se promettait d'y revenir plus tard.

C'est ce travail qui déclencha le début de la Physique Quantique. On peut le décomposer en trois étapes:
10- la découverte de la loi du corps noir,
10- la recherche des constantes fondamentales intervenant,
10- l'interprétation physique de cette loi.

5.1 Découverte de la loi du corps noir

Il s'agissait d'effectuer une extrapolation mathématique entre les loi de Wien et de Rayleigh-Jeans. Planck eut la main heureuse en trouvant la formule suivante.

Loi de Planck, 1re version

Remarquons que pour λ très petit, l'exponentielle est très grande et le terme "–1" est donc négligeable. On retrouve alors la formule de Wien. D'autre part, pour λ très grand, l'exponentielle peut être approchée ainsi: exp(C2/λT) ≈ 1 + C2/λT et on retrouve la loi de Rayleigh-Jeans.

La loi proposée par Planck extrapole bien les deux lois. De plus il se trouve qu'elle recouvre parfaitement les courbes expérimentales entre ces deux extrêmes. C'est un succès total! D'ailleurs dans la Physique Quantique actuelle, la loi de Planck se déduit des postulats fondamentaux.

5.2 Recherche des constantes fondamentales

Planck avait l'ambition de mener la recherche la plus fondamentale possible. Cela nécessitait de mettre de l'ordre dans la foison de constantes qui jalonnait les formules de ses collègues. Il les ramena au nombre de trois:
10 c, la vitesse de la lumière,
10 k, la constante de Boltzmann,
10 h, une constante nouvelle, appelée depuis la constante de Planck.

L'apparition de la vitesse c est naturelle puisque le problème du corps noir concerne la lumière.

La constante k, introduite par Planck, est celle qui intervient dans la relation de Maxwell entre l'énergie moyenne et la température, et qui devient alors
10Emoyenne = αkT
α est une constante dépendant de la géométrie des molécules du gaz (pour un gaz monoatomique α=2/3; pour un gaz de molécules diatomiques α=5/3; etc...).

Enfin h, la nouvelle constante introduite lors de l'extrapolation mathématique (Planck l'a d'abord appelée Hilfskonstante), va jouer un rôle considérable. C'est elle qui indique à quelle échelle les phénomènes quantiques ont lieu. Notons que dans nos unités habituelles (mètre, kilo, seconde) elle est extraordinairement petite.

En terme de ces constantes, la loi de Planck s'énonce ainsi:

Loi de Planck, 2e version

Ayant précisé correctement les constantes, il fallait faire de même de la fonction Eλ. Elle devient en fait "l'énergie par seconde et par unité de surface émettrice et par longueur d'onde", grandeur appelée aussi l'émittance énergétique spectrale.

5.3 Interprétation de la loi de Planck

En physique, il ne suffit pas de trouver la bonne formule, il faut encore pouvoir l'interpréter en terme de phénomènes naturels.

La recherche d'une interprétation physique de sa formule plongea Max Planck dans une grande perplexité. Il avait utilisé la formule de Wien, qui résultait de l'hypothèse atomique, à laquelle on l'a vu, Planck n'adhérait pas. Cette formule introduisait de fait la discontinuité, ce qui ne manquerait pas de se propager dans l'émission lumineuse elle-même, d'une façon ou d'une autre. En effet, en récrivant sa loi en terme de fréquence ν au lieu de longueur d'onde, il obtient:

Loi de Planck, 3e version

où, ici, Eν est "l'énergie par seconde et par unité de surface émettrice et par fréquence".

On voit apparaître dans l'exponentielle un facteur , qui représente une énergie. L'énergie de quoi, en fait?

Planck constata qu'en supposant que l'émission de lumière se fasse de façon discontinue, par paquets d'énergie , puis en reprenant l'approche statistique de Maxwell, adaptée aux rayons lumineux, il obtenait sa loi d'une façon simple et naturelle!

C'est ce qu'il présenta le 14 décembre 1900, devant les membres de l'Académie de Berlin, en s'excusant de ne pas trouver d'autres interprétations. Il dénigra son travail en le taxant de "solution du désespoir"!

On peut imaginer la réaction de l'auditoire, habitué à voir Max Planck comme l'exemple-même du physicien sérieux, et qui tout à coup expose des invraisemblances! Il en suivit certainement un long silence gêné... Dans les années qui suivirent personne n'en parla. Seul Max Planck continuait à chercher d'autres interprétations. En vain... Et tout à coup, en 1905, apparait un article d'un jeune inconnu, du nom d'Einstein, qui ... Mais c'est déjà la prochaine étape, sujet de la prochaine lettre!

Récompenses: John William Strutt, baron Rayleigh, reçut le prix Nobel de physique en 1904, Wilhelm Wien le reçut en 1911 et Max Planck en 1918.


6. Références

Pour une description historique de la découverte de Planck:

- Initiations à la Physique, Max Planck, Flammarion, 1993 (original de 1934); Chapitre 4: la genèse et l'évolution de la théorie des quanta.

- Petit voyage dans le monde des quanta, Etienne Klein, Flammarion 2004; Annexe: du corps noir à l'invention de la Physique Quantique.

L'article original de Wien:

- Ueber die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines Schwarzen Körpers, Wilhelm Wien, Annalen der Physik, Vol 58, p 662- 669, 1896.

En flânant sur Internet, on trouve quantité d'articles sur le sujet (voir aussi ceux en anglais).


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