Lettre d'août 2015 1000000000000000000000000000000Retour à Journal

L'onde quantique associée de de Broglie

Une onde est associée à chaque particule pour rendre compte des phénomènes quantiques


La Physique Quantique est le produit de deux hypothèses surprenantes et totalement inattendues. La première, on l'a vu, a été énoncée par Max Planck en décembre 1900 à Berlin. Complétée par Einstein puis par Bohr, elle a conduit à la première théorie quantique, qu'on a appelée ici la Physique des Quanta. Celle-ci a permis d'expliquer des phénomènes jusqu'alors mystérieux, comme l'effet photoélectrique, et d'en découvrir de nouveaux, comme l'émission induite (voir les lettres précédentes). Mais elle n'a pas conduit à une vaste théorie pouvant aborder tous les phénomènes à l'échelle atomique et en déduire de nombreuses prédictions.

La deuxième hypothèse fondant la Physique Quantique est contenue dans la thèse de doctorat du prince Louis de Broglie, soutenue en 1924 à Paris, intitulée Recherches sur la théorie des quanta. Reprenant l'état de diverses connaissances de l'époque, le prince chercha à en faire la synthèse. Son travail aboutit à ouvrir la grande porte menant à la Mécanique Quantique. Einstein, enthousiasmé, dira de cette thèse que "son auteur a levé un coin du grand voile".

La première hypothèse, de Planck, conduit à admettre la lumière comme formée de particules, les photons. C'est l'hypothèse atomique appliquée à la lumière! La Physique des Quanta est l'exploitation la plus généreuse possible de cette idée, allant jusqu'à la théorie atomique de Bohr. La deuxième hypothèse, de de Broglie, est en quelque sorte son renversement. Puisque tout est constitué de particules, la lumière comme la matière, une unique loi devrait gérer ces objets. Or la recherche d'une telle loi revient immanquablement à attribuer à chaque particule de matière en mouvement une ... fréquence!


1. Etat de la physique des particules après la Physique des Quanta

Au début des années 1920 on considère la nature comme essentiellement constituée d'atomes (la matière) et de photons (la lumière). Chacune de ces catégories suit ses propres lois du mouvement.

Lorsqu'ils sont plongés dans un champ de force, les particules massives, les atomes, suivent les lois de Newton, récemment corrigées par la théorie de la relativité (mais qui ne couvre que quelques cas). Au cours des siècles suivant Newton les mathématiciens ont cherché d'autres formulations de cette théorie. Parmi celles-ci, la plus parlante est le principe de moindre action de Maupertuis. Pierre Louis Moreau de Maupertuis a utilisé une grandeur mécanique appelée l'action, qui se calcule le long d'une trajectoire. Il a alors établi qu'en vertu des lois de Newton, une particule suit le mouvement qui minimise son action.

Quant aux photons, particules sans masse mais possédant une propriété bien particulière, la fréquence, ils obéissent, comme la lumière qu'ils constituent, au principe de Fermat, qui régit les trajectoires que prennent les rayons lumineux.

Ainsi la nature est constituée de deux familles de particules obéissant chacune à des lois différentes.


2. La recherche de synthèse

De Broglie propose une généralisation du principe de moindre action de Maupertuis au cas relativiste pour des particules massives plongées dans un champ électromagnétique. Puis il énonce une nouvelle version du principe de Fermat pour les particules de lumière. Suite à ces extensions les deux principes acquièrent une surprenante analogie formelle.

Cette analogie suggère d'attribuer à toute particule élémentaire ayant une énergie E et une impulsion P une fréquence ν et une longueur d'onde λ définies par
10E = h ν
10P = h / λ
h est la constante de Planck, et à toute particule élémentaire (onde) ayant une fréquence ν et une longueur d'onde λ une énergie E et une impulsion P données par ces mêmes relations.

Dans le cas des photons c'est simplement les lois de Planck-Einstein. Mais pour les particules massives l'attribution d'une fréquence et d'une longueur d'onde est surprenante et constitue un pas audacieux. De Broglie en est conscient et affirme "cette hypothèse vaut, comme toutes les hypothèses, ce que valent les conséquences qu’on en peut déduire".

Dans le cas des particules massives ces formules ne sont pas exemptes de difficulté. L'impulsion, en toute généralité, est un vecteur, pointant dans la direction de la vitesse. Ici on choisit de désigner par P la longueur de ce vecteur. Il est toujours donné par la formule P = m Vm est la masse et V la vitesse (plus précisément la longueur du vecteur vitesse).

L'énergie aussi pose un problème, car en Mécanique Classique elle n'est pas définie univoquement. Seules les différences d'énergie interviennent (lors d'affirmations comme "l'énergie d'un système isolé est constante"), ce qui permet de choisir arbitrairement le zéro de son échelle. L'énergie peut alors être négative, ce qu'on interprète généralement comme décrivant un état de dépendance. Or une fréquence ne saurait être négative! On peut alors décider de se restreindre à l'énergie de mouvement, ou énergie cinétique :
10Ecin = ½ m V2
qui n'est pas ambiguë. Mais c'est perdre de la généralité. De Broglie contourne cette difficulté en ne considérant que le cas relativiste, où l'énergie est toujours bien définie et positive. Notons cependant qu'elle est énorme (au repos une particule a l'énergie mc2!).

Or, attribuer une fréquence et une longueur d'onde à une particule en mouvement, revient à lui associer une onde ayant ces caractéristiques. Comment cette onde s'articule-t-elle avec le mouvement de la particule? De Broglie ne donne pas de détails, se contentant de dire qu'elle accompagne la particule et prend en compte ses propriétés quantiques.


3. Application à la théorie atomique

Selon les travaux de Bohr les électrons des atomes ne peuvent se trouver que sur certaines trajectoires. Est-il possible de retrouver ce résultat grâce à l'onde quantique associée aux électrons?

Prenons le cas de l'atome d'hydrogène, le plus simple, et admettons que les trajectoires de l'unique électron sont des cercles autour du noyau. L'onde associée "court autour de la trajectoire avec une fréquence constante (puisque l'énergie est constante)". Pour qu'elle "suive un régime stable" on s'attend à ce qu'elle soit stationnaire (les expression entre guillemets sont de de Broglie). Du moins, on peut s'attendre à ce que le cas stationnaire joue un rôle particulier.

On entend par stationnaire une onde qui possède des points fixes équidistants. On observe des vibrations entre ces points, maximales exactement au milieu. L'onde semble ne pas avancer, d'où l'appellation de "stationnaire", bien qu'il y ait du mouvement!

Onde stationnaire de l'électron
               de l'atome d'hydrogène

La condition de stationnarité est que le pourtour de la trajectoire soit un multiple exact de la longueur d'onde. Il doit donc exister un nombre entier n tel que
102 π R = n λ
R est le rayon de la trajectoire (rappel : le pourtour vaut 2πR). Or par la relation entre λ et l'impulsion P ci-dessus, puis par P = mV, où m est la masse de l'électron et V sa vitesse, on obtient

Condition de stationnarité
               de l'atome d'hydrogène

soit, avec un peu d'algèbre:

Condition de stationnarité
               de l'atome d'hydrogène

On reconnaît à gauche le moment cinétique du mouvement! Cette loi est exactement la condition des orbites permises par la théorie de Bohr (voir la lettre L'atome de Bohr)!

Ainsi la condition de stationnarité de l'onde quantique associée proposée par de Broglie permet de mieux comprendre l'hypothèse de la théorie atomique de Niels Bohr.


4. Rayonnement de la thèse de de Broglie

L'idée d'introduire une onde associée à chaque particule pour répondre de ses propriétés quantiques est la grande étape qui a permis la construction de la Physique Quantique. Erwin Schrödinger s'en empara et obtint deux ans plus tard l'équation générale à laquelle les ondes quantiques obéissent. Ce sera le début de la Physique Quantique, la science expliquant tous les phénomènes à l'échelle atomique qui ne font pas intervenir la Relativité (c'est-à-dire dont les vitesses intervenant sont très petites devant celle de la lumière). C'est une longue histoire qui nous occupera dans les prochaines lettres!

Il faut mentionner que les ondes quantiques associées de la Physique Quantique sont d'une tout autre nature que celles de de Broglie. En Physique Quantique l'électron n'a plus de trajectoire et son onde remplit l'espace tout entier.

Cependant la construction de la Physique Quantique n'a pu se faire qu'en abandonnant la Relativité, ce que n'avait pas voulu de Broglie. Mais ce qu'elle perd en généralité elle le gagne en cohérence. Ainsi par exemple, une particule au repos n'a pas d'onde quantique associée (plus précisément sa longueur d'onde est infinie et sa fréquence est nulle), alors que son onde de de Broglie a aussi une longueur d'onde infinie mais sa fréquence donnée par mc2/h, quantité énorme peu compréhensible !

Malgré l'enthousiasme d'Einstein la communauté des physiciens accueillit les ondes quantiques associées aux particules matérielles avec scepticisme. La situation se retourna lorsqu'en 1926 les américains Clinton Davisson et Lester Germer mirent en évidence expérimentale la diffraction des électrons sur un cristal (voir la lettre L'onde de matière: première vérification expérimentale). Les électrons se comportent effectivement comme des ondes, avec des longueurs d'onde prévues par la formule de de Broglie! Le prix Nobel était bien mérité et le prince le reçut en 1929.


5. Références

La thèse de de Broglie est accessible sur internet:
10- Recherches sur la théorie des quanta

Pour une présentation contenant l'histoire des frères de Broglie:
10- Le duc dans la mécanique ondulatoire, Bruce Wheaton,
10 dans Le Monde Quantique, S. Deligeorges

Pour une présentation illustrée:
10- La théorie quantique en images, J. P. McEvoy, pages 110 à 119

Pour un exposé condensé:
10- Les paradoxes quantiques, François Rothen, chapitre 6.


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