Lettre d'avril 2016 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal

Le Principe d'Incertitude de Heisenberg

10La mécanique quantique matricielle de Heisenberg impose une limite à la précision


Nous avons laissé le jeune Werner Heisenberg à son article révolutionnaire de 1925, contenant l'ébauche de ce qui deviendra la Mécanique Quantique Matricielle (voir la lettre La Mécanique Quantique Matricielle de Heisenberg). Tout en poursuivant le développement de cette nouvelle physique avec ses collègues de l'université de Göttingen (en particulier Max Born et Pascual Jordan) il en cherchait des conséquences spectaculaires. En 1927 il publie dans la revue Zeitschrift für Physik l'article "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", qu'on peut traduire (assez librement) par "Sur la relation entre les observations et la théorie quantique de la mécanique", qui énonce une propriété surprenante de cette jeune théorie, à savoir l'impossibilité de mesurer de façon précise en même temps la position et la vitesse d'une particule. Connu sous le nom de Principe d'Incertitude de Heisenberg, cette limitation deviendra la propriété la plus citée de la Physique Quantique.

Le problème de la fiabilité des mesures, c'est le pain quotidien du physicien. Mesure-t-on bien la grandeur qu'on pense, et si oui, avec quelle marge d'erreur? Les imprécisions dues aux complications des expériences et aux limites des appareils sont omniprésentes. Ainsi toute mesure est automatiquement entachée d'erreurs, et la science doit s'en accommoder. Cependant avec l'évolution des astuces et des techniques, la précision s'améliore et la science avance inexorablement. Or le principe d'incertitude dit autre chose. Il affirme que la théorie apporte une limite de précision infranchissable, un interdit absolu!

Enonçons ce fameux principe sous sa forme la plus connue. Il ne concerne pas la précision d'une seule mesure, qui peut toujours être améliorée, mais celle de certains couples de mesures au même instant. C'est le cas du couple position – vitesse, ou mieux position – impulsion (l'impulsion est préférée à la vitesse pour des raisons de dynamique): il n'est pas possible de mesurer en même temps ces deux grandeurs avec une précision au-delà d'une certaine limite. Plus précisément on a une formule du type:
10Incertitude sur la position x Incertitude sur l'impulsionh/4π 10000000000000 (1)
h est la constante de Planck et l'expression "Incertitude" sera précisée plus loin.

La formulation "principe d'incertitude", bien qu'universellement admise, prête à confusion. Elle n'est pas de Heisenberg. Il ne s'agit en fait ni d'un principe ni d'une incertitude. Ce n'est pas un principe car, comme on le verra, c'est une conséquence des idées qui fondent la Physique Quantique. Il ne s'agit pas d'une incertitude mais d'une limite théorique sur le produit de certaines incertitudes. Il serait plus juste de parler de "relations d'indétermination".

Les conséquences de (1) sont sévères: s'il n'est pas possible de mesurer, et donc de connaître effectivement, la position et la vitesse d'une particule au même instant, il est illusoire de vouloir décrire son mouvement. On n'a même pas accès à sa trajectoire! Mouvement et trajectoire sont des notions à éradiquer de la nouvelle physique!

Afin de décrire le principe d'incertitude et comment Heisenberg y est arrivé, il nous faut préciser de nombreuses questions, que nous aborderons une à une.


1. Le couple de grandeurs physiques position – impulsion

Rappelons en les résumant les idées fondatrices de la Mécanique Quantique Matricielle contenues dans l'article de Heisenberg de 1925 (voir la lettre précédente La Mécanique Quantique Matricielle de Heisenberg).

Partant de la première hypothèse de Bohr:
10les électrons d'un atome sont répartis parmi une liste d'états stables, dont les différences
10d'énergie sont données par les énergies des photons émis, observés expérimentalement,
Heisenberg en déduit que les grandeurs physiques sont représentées par des tableaux de nombres. De plus, ces tableaux se manipulent selon des règles très particulières. Il en résulte entre autre que le produit des grandeurs position et impulsion, qui intervient dans la définition du moment cinétique, n'est pas commutatif, ce qui signifie que le produit: position fois impulsion, n'est pas égal au produit: impulsion fois position.

La deuxième hypothèse de Bohr ne concerne que l'atome d'hydrogène:
10les états possibles de l'unique électron de l'atome d'hydrogène sont définis par leur
10moment cinétique, qui est un multiple de la constante de Planck divisée par 2π.
Heisenberg la généralise avec hardiesse pour l'appliquer à n'importe quelle particule soumise à des forces. Dans le cas d'un atome, il retrouve une formule connue par ailleurs (formule de dispersion).

Selon Heisenberg, la première hypothèse de Bohr conduit à un changement de cinématique, et la deuxième introduit la quantification (c'est-à-dire introduit la constante de Planck).

Deux mois après la parution de l'article de Heisenberg, ses collègues Born et Jordan publient un complément apportant précisions et développements. Concernant la nouvelle cinématique, ils constatent que les nouvelles règles sont celles de l'algèbre matricielle, bien connue des mathématiciens. Concernant la formule de quantification, ils se lancent dans un grand développement, reprenant partiellement les méthodes de Heisenberg.

Appelons P la matrice décrivant la grandeur physique impulsion et Q celle décrivant la position (ces dénominations sont standard en Physique Quantique). Ils obtiennent la formule
10Q P – P Q = ih/2π 1000000000000000000000000000000000000000000000000 (2)
h est toujours la constante de Planck et i l'unité des nombres imaginaires (voir plus loin).
Remarque: le lecteur avisé sera surpris de voir une formule avec à gauche des matrices et à droite un nombre! En fait, dans de telles relations, il est sous-entendu que le nombre en question est multiplié par la matrice identité, définie par la transformation qui ne change rien.

Admirons la simplicité de la formule (2)! On savait que P et Q ne commutent pas, mais quelle surprise de trouver une formule exacte pour leur non-commutation, très simple, valable pour tout système physique! Cette formule va jouer un rôle central en Physique Quantique.


2. Le raisonnement de Heisenberg

Pour Heisenberg, une propriété aussi surprenante que celle suggérée par la formule (2) doit avoir des conséquences expérimentales. On peut s'attendre, par exemple, à ce que la mesure de la position puis de l'impulsion ne donne pas le même résultat si on inverse cet ordre. Ou, plus simplement, la mesure de l'une de ces grandeurs doit perturber celle de l'autre.

Imaginons donc une expérience pour mettre cet effet en évidence. Pour mesurer la position d'une particule, disons d'un électron, il faut lui envoyer de la lumière. En effet, "voir" un objet signifie recevoir un rayon de lumière qu'il a réfléchi. Or on ne peut déterminer un rayon qu'en détectant au moins une longueur d'onde. Ainsi on ne peut pas connaître la position d'une particule plus précisément qu'une longueur d'onde. Mais ce n'est pas une limitation très contraignante, puisqu'il existe des rayons de longueur d'onde extrêmement petite, les rayons γ obtenus par désintégration radioactive.

Qu'en est-il alors de la mesure de l'impulsion? Dans le cadre de la Physique Quantique, l'expérience en question est un processus typique de l'effet Compton (voir la lettre Les photons mis en évidence par l'effet Compton). L'électron a absorbé un photon puis l'a rendu, avec éventuellement une autre longueur d'onde. Cette opération aura modifié son impulsion, car il a dû absorber celle du photon, puis en perdre pour l'émission. Sa variation d'impulsion est donc de l'ordre de celle du photon, qui vaut h/λ, où λ est la longueur d'onde.

En résumé, on a:
10une incertitude sur la position d'au moins λ,
10une incertitude sur l'impulsion d'environ h/λ,
de sorte que le produit de ces incertitudes est de l'ordre de h.

C'est à peu de chose près le raisonnement qu'a présenté Heisenberg dans son article de 1927, mélangeant intuitions et estimations. Suite à des critiques sur son peu de clarté, il l'a depuis amélioré, en y apportant des détails. Mais malgré son manque de rigueur, il ne fait pas de doute qu'Heisenberg a mis le doigt sur un point capital de la Physique Quantique.

Nous allons voir comment on peut transformer cette intuition en une inégalité précise dans le cadre de la Mécanique Quantique Matricielle. Cette démonstration nécessite des notions de mathématique délicates, qui seront introduites une à une. Le lecteur pressé ou ennuyé par ces techniques peut omettre ce qui suit, sans conséquences pour les prochaines lettres.


3. Relation entre une grandeur physique et la matrice qui la représente

Dans cette ébauche de Physique Quantique les grandeurs physiques, comme la position ou l'impulsion, sont représentées par des matrices, qui sont des tableaux de nombres. Or lors d'une mesure expérimentale, on obtient un nombre! Comment relier ces deux conceptions?

Transformation d'un vecteur

Pour répondre à cette question embarrassante, il est judicieux de profiter de la représentation géométrique des matrices. Dans la lettre précédente, on a vu qu'une matrice peut être associée à une transformation linéaire d'un espace de vecteurs. Une telle transformation agit sur un vecteur en modifiant sa direction et en multipliant sa longueur. De plus (en vertu du terme "linéaire") les vecteurs de même direction sont changés dans des vecteurs de même direction et leurs longueurs sont toutes multipliées par le même nombre (voir l'image ci-dessous).

Transformation linéaire


Dans une transformation linéaire, tous les vecteurs de même direction sont modifiés dans la même direction et leurs longueurs sont multipliées par le même nombre.

3.1 Valeurs-propres et vecteurs-propres d'une transformation linéaire
Parmi toutes les transformations linéaires il en existe qui ne changent pas la direction de certains vecteurs. Ces vecteurs particuliers sont appelés vecteurs-propres de la transformation (on devrait plutôt dire direction-propre, car si un vecteur est un vecteur-propre, tous les vecteurs de même direction le sont aussi). Sur un vecteur-propre la transformation n'agit donc qu'en multipliant sa longueur par un nombre, appelé valeur-propre.

Prenons un exemple dans le plan (espace de vecteurs à 2 dimensions), pour montrer l'utilité de ces notions. Considérons une transformation qui possède deux directions-propres, de valeurs-propres 1/2 et 3/2 respectivement. La transformation est alors définie dans tout le plan! En effet, considérons un vecteur quelconque (vecteur rouge ci-dessous). Décomposons-le en somme de vecteurs-propres (décomposition unique, vecteurs bleus). On effectue alors la transformation des vecteurs-propres (en vert), puis on additionne les vecteurs obtenus (vecteur orange).

Transformation d'un vecteur
               quelconque

Ce raisonnement montre que dans un espace à 2 dimensions (le plan), 2 directions-propres différentes définissent complètement une transformation. Dans le cas général, de dimension N, une transformation est déterminée si on connaît N directions-propres différentes.

Remarque: Toutes les transformations linéaires n'ont pas de vecteur-propre. Ainsi la transformation consistant à tourner tous les vecteurs du plan dans le même sens de 30 degrés ne laisse aucune direction inchangée!

3.2 Interprétation physique des valeurs-propres et vecteurs-propres d'une transformation
Or il se trouve que les matrices représentant les grandeurs physiques sont associées à des transformations linéaires qui admettent des vecteurs-propres. C'est une propriété très remarquable qu'il est judicieux d'exploiter! On admet donc naturellement l'identification suivante:
10Les nombres obtenus dans une expérience sont des valeurs-propres de la matrice
10représentant la grandeur physique mesurée.
Ainsi les valeurs-propres acquièrent-elles un sens physique fort. Peut-on en donner un aux directions-propres? Les différentes valeurs obtenues lors d'une expérience sont typiques des différents états du système étudié. Aussi on admet l'association, qu'on complétera par la suite:
10Les directions-propres sont associées aux états du système, états pour lesquels les
10mesures donnent les valeurs-propres correspondantes.

3.3 Etats intermédiaires
Quel sens physique donner aux vecteurs qui ne sont pas des vecteurs-propres? On les associe aussi à des états, que nous appellerons états intermédiaires, obtenus par exemple dans des situations instables. Les expériences donnent-elles alors des valeurs intermédiaires? Non! A l'échelle atomique les mesures ne prennent que des valeurs discontinues, appartenant à une liste bien précise! C'était justement le point de départ de la Physique Quantique! Ce que donnent les expériences, ce sont des choix aléatoires de valeurs propres, tantôt celle-ci, tantôt celle-là. Cependant en répétant inlassablement la même expérience, on trouve toujours les mêmes valeurs dans les mêmes proportions. C'est-à-dire que le vecteur, si on admet qu'il représente l'état du système, doit permettre de déterminer la probabilité des divers résultats.

La relation entre un vecteur, représentant un état, et le résultat des mesures dans cet état, a déjà été abordée dans la lettre La physique du spin. Pour lui donner plus de généralité il est nécessaire d'introduire une notion de produit de vecteurs, le produit scalaire.

Produit scalaire

Considérons deux vecteurs quelconques v et w. Leur produit scalaire, noté (v|w), est défini comme le produit des longueurs de v et w et du cosinus de l'angle entre eux. Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne donc sa longueur au carré, qu'on note ainsi: (v|v) = |v|2. Ainsi la formule du produit scalaire s'écrit:
10(v|w) = |v| |w| cos α 1000000000000000000000000000000000000000000000000(3)
α désigne l'angle entre les vecteurs.

En Physique Quantique on admet, ou plutôt on postule, que la relation entre un vecteur v de longueur 1 (un état), une grandeur physique représentée par la matrice A et la moyenne des mesures dans cet état, notée <A>v , est donné par la formule
10<A>v = (v|Av). 1000000000000000000000000000000000000000000000000000(4)
Notons qu'il suffit de prendre v de longueur 1, car c'est la direction du vecteur qui définit l'état.

Exemples
1) Si v est un vecteur-propre, de longueur 1, pour la valeur-propre a, alors la moyenne des mesures vaut
10<A>v = (v|Av) = (v|av) = a (v|v) = a |v|2  = a
ainsi la moyenne n'est autre que la valeur-propre.

Etat intermédiaire

2) Considérons un vecteur v de longueur 1 se trouvant dans le plan défini par deux directions-propres perpendiculaires (pour simplifier), de valeurs-propres a et b. Alors v se décompose comme une somme unique de vecteurs-propres u et w (voir le dessin). Soit α l'angle entre u et v. Alors la moyenne des mesures vaut
10<A>v = (v|Av) = (v|A(u+w)) = (v|au+bw) =
1000000a(v|u) + b(v|w) = a(u+w|u) + b(u+w|w) =
1000000a|u|2 + b|w|2 = a(cos α)2 + b(sin α)2 1000000000000000000000000000000000000(5)
où on a utilisé (u|w) = 0 puisque u et w sont perpendiculaires. Les mesures donneront donc la valeur a dans la proportion de (cos α)² et de b dans la proportion de (sin α)².

Remarque: dans l'exemple 2) les directions-propres sont perpendiculaires. Si ce n'est pas le cas la formule (5) est plus compliquée, ce qui n'apporte rien à notre propos.

4. Incertitude d'une mesure: l'écart-type

Lorsqu'on mesure une grandeur physique, il est souvent nécessaire de répéter plusieurs fois l'opération, en vue de s'affranchir des imprécisions des appareils et de toutes sortes d'imprévus. En général chaque essai donne un résultat un peu différent. On fait alors appel à la statistique pour gérer ces données.

4.1 Moyenne et écart-type
Faisons un peu de statistique. Considérons une collection de N nombres. On définit leur moyenne par l'expression
10moyenne = somme des nombres / N.
Or la moyenne ne dit pas tout de cette collection. En particulier elle ne donne pas d'information sur sa dispersion autour de la moyenne. Pour cela il faut considérer les écarts entre les nombres et leur moyenne, c'est-à-dire la collection des différences entre chaque nombre et la moyenne. Or il ne sert à rien de calculer la moyenne de ces écarts, qui est toujours nulle (par définition de la moyenne)!

La statistique offre alors plusieurs méthodes pour s'en sortir. La plus utilisée consiste à calculer l'écart-type (ou écart quadratique moyen, ou encore moyenne quadratique, ou standard deviation en anglais). Les écarts sont mis au carré (ils sont alors tous positifs), on calcule leur moyenne et on prend la racine du résultat. En formule cela donne:
10écart-type = racine (moyenne des carrés des écarts). 10000000000000000000000(6)
En développant le carré des expressions (nombre – moyenne)2 on trouve, après un peu d'algèbre, la formulation équivalente:
10écart-type = racine (moyenne des carrés – carré de la moyenne). 1000000000000(7)
Donnons un exemple numérique, qui peut être sauté sans conséquence si les calculs vous ennuient.

Statistique

Exemple: considérons les 9 nombres
107, 22, 14, 13, 6, 21, 13, 17, 13
leur moyenne vaut:
10(7 + 22 + 14 + 13 + 6 + 21 + 13 + 17 + 13) / 9 = 126 / 9 = 14.
Pour estimer leur dispersion on considère les écarts entre les données et la moyenne, ce qui donne dans notre exemple, en enlevant 14 à chaque nombre, les données:
10-7, 8, 0,-1, -8, 7, -1, 3, -1
Remarquons que leur somme est nulle (les données sont également distribuées autour de leur moyenne). Pour obtenir l'écart-type on calcule la moyenne des carrés des écarts (tous positifs), puis on prend la racine carrée du résultat (pour corriger la mise au carré). Dans notre exemple cela donne:
Ecart-type 1
On obtient le même résultat en prenant la racine de la moyenne des carrés des nombres originaux moins le carré de leur moyenne (seconde formulation (7)):
Ecart-type 2

Note: Il existe d'autres estimation de la dispersion. Ainsi au lieu de mettre au carré puis de prendre la racine, on pourrait simplement mettre les écarts en valeur absolue, ce qui donnerait comme mesure de la dispersion (7+8+0+1+8+7+1+3+1)/9 = 36/9 = 4,0. Cela semble plus simple, mais sa généralisation est plus compliquée.

4.2 Moyenne et écart-type d'une mesure d'une grandeur physique
Lorsqu'une expérience est répétée de nombreuses fois et fournit donc une collection de résultats il est d'usage de prendre pour valeur finale la moyenne des résultats et pour incertitude leur écart-type. Ainsi le résultat annoncé sera :
10résultat = moyenne ± écart-type.

Dans l'exemple numérique ci-dessus, s'il s'agissait de résultats d'expériences, le résultat final serait:
10résultat final = 14 ± 5
On omet les décimales dans l'incertitude puisqu'elles ne sont pas significatives.

4.3 Moyenne et écart-type d'une mesure en Mécanique Quantique Matricielle
Plaçons-nous dans le cadre de la Mécanique Quantique Matricielle. En répétant une expérience dans les mêmes conditions, on trouve une série de résultats. Soit A la matrice représentant la grandeur physique mesurée, et v le vecteur de longueur 1 associé à l'état du système. Le résultat final de l'expérience est défini par la moyenne de toutes les mesures, ce qui doit correspondre dans la théorie à la formule (4):
10<A>v = (v|Av).
Qu'en est-il de la dispersion des mesures autour de la moyenne? Deux cas différents se présentent.

1) Si v est exactement un vecteur-propre de A, alors toutes les mesures donnent exactement la valeur-propre. Les écarts sont alors tous nuls. L'écart-type, que nous symbolisons par l'expression standard σ(A)v , vaut alors
10σ(A)v = 0.
Il s'agit bien sûr d'un cas idéal!

2) Si v n'est pas un vecteur-propre, alors les mesures se répartissent parmi les valeurs-propres, selon une probabilité définie. L'écart-type des mesures est représenté dans la théorie par la relation
10σ(A)v = |(A − <A>v)v|. 1000000000000000000000000000000000000000000000 (8)

Pour les lecteurs intéressés, voilà comment on démontre la formule (8). On la met au carré, on utilise la relation (Bu|Bu) = (u|B²u) pour tout vecteur u et matrice B reliée à une grandeur physique, et on développe le carré de la somme obtenue. Il ne reste alors plus qu'à reconnaître les termes et les rassembler:
10|(A − <A>v)v|² = ((A − <A>v)v|(A − <A>v)v) = (v|(A − <A>vv) =
100000000000000(v|(A² − 2A<A>v + <A>v²) v) = (v|A²v) − 2(v|Av)<A>v + <A>v² (v|v) =
100000000000000(v|A²v) − 2<A>v² + <A>v² = (v|A²v) − <A>v²
Or la matrice A² a les mêmes vecteurs-propres que la matrice A mais ses valeurs-propres au carré. Il en suit que (v|A²v) est la moyenne des carrés des mesures. On a bien obtenu le carré de l'écart-type dans sa deuxième formulation (7).

5. Formule précise du principe d'incertitude

Nous nous plaçons toujours dans les mêmes circonstances. Nous allons montrer que la formule de non-commutation des grandeurs physiques P et Q, donnée par (2), interprétée dans le cadre général de la Mécanique Quantique Matricielle, permet d'obtenir l'inégalité:
10σ(P)v σ(Q)vh/4π 100000000000000000000000000000000000000000000000 (9)
valable quel que soit le vecteur v (l'état du système). (9) est le Principe d'Incertitude dans sa formulation précise.

La démonstration est astucieuse. Elle consiste, dans une première étape, à calculer le carré de la longueur du vecteur bien choisi [(P − <P>v) + (Q − <Q>v)]v où:
10 v est un vecteur quelconque,
10 λ est un nombre quelconque,
10 i est l'unité des nombres imaginaires.

Rappel 1: Les nombres réels, les nombres imaginaires et les nombres complexes
Rappelons que i, l'unité des nombres imaginaires, est définie par la curieuse relation: i² = – 1. Or nous avons plusieurs fois mentionné dans cette lettre qu'un nombre au carré est toujours positif! Ce n'est valable que pour les nombres réels, et non pour les nombres imaginaires. Les nombres complexes, constitués d'un nombre réel plus un nombre imaginaire, comme par exemple 2+3i ou –1+ i, se manipulent avec une algèbre particulière. En les mettant au carré, on n'obtient pas en général un nombre positif mais un nouveau nombre complexe. Par exemple: (2+3i)² = 4 +12i – 9 = –5 + 12i. Pour obtenir de façon sûre un nombre positif, ce qui est nécessaire pour disposer d'une notion de longueur, on doit multiplier un nombre complexe par son conjugué complexe, obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire. Dans notre exemple: |2+3i|² = (2–3i) (2+3i) = 4 – 6i + 6i – 9i² = 4 + 9 = 13.

Si un vecteur utilise un nombre complexe on opérera de même pour obtenir sa longueur. Ainsi par exemple:
10|(1+i)u|² = ((1+i)u|(1+i)u) = (u|(1–i)(1+i)u) = (u|(1+ii +1)u) = (u|2u) = 2|u|² .

Avant de calculer la longueur du "vecteur bien choisi", on établit une formule utile. Notons A = P−<P>v et B = Q−<Q>v , pour simplifier le calcul. On a alors:
10 |[A+iλB]v|² = ([A+iλB]v|[A+iλB]v) = (v|[A–iλB][A+iλB]v) =
100000000000(v|[A²+ iλAB–iλBAi²λ²B²]v) = (v|A²v) + (v|[AB–BA]v) –i²λ²(v|B²v) =
100000000000|Av|² + (v|[AB–BA]v) +λ²|Bv
puis remplaçons A par P−<P>v et B par Q−<Q>v:
10 |[(P − <P>v) + (Q − <Q>v)]v|² =
100000000000|(P–<P>v)v|² + (v|[(P–<P>v)(Q–<Q>v) – (Q–<Q>v)(P–<P>v)]v)
100000000000+λ²|(Q–<Q>v)v|² = σ(P)v² + (v|[(PQ–QP]v) + λ²σ(Q)v² =
100000000000σ(P)v² + λh/2π + λ²σ(Q)v² 10000000000000000000000000000000000(10)
où on a utilisé la formule de non-commutation (2) dans la dernière ligne.

Deuxième étape de la démonstration. La formule (10) a ceci de particulier, elle dépend d'un paramètre λ, nombre réel quelconque, apparaissant sous forme d'un polynôme du 2e degré. D'autre part, (10) étant le carré de la norme d'un vecteur, c'est une expression positive ou nulle quelque soit la valeur de λ. On utilise alors ce qu'on sait des équations du 2e degré.

Rappel 2: Inéquation du deuxième degré
L'inégalité de formule générale
10 ax² + bx + c ≥ 0
a, b, c sont des nombres réels fixes et x un nombre réel variable, peut s'écrire, avec un peu d'algèbre:
10Inégalité du 2e degré
Pour que cette inégalité ait lieu quelque soit x les coefficients a, b, c doivent satisfaire:
104acb² ≥ 0 .

Comme l'expression (10) est toujours positive ou nulle quelle que soit λ, il en résulte l'inégalité:
10 4σ(P)v² σ(Q)v² – (h/2π)² ≥ 0
ce qui amène à l'inégalité (9) après un peu d'algèbre. On a ainsi démontré le Principe d'Incertitude dans le cadre de la Mécanique Quantique Matricielle, comme conséquence de la formule de non-commutation (2) des grandeurs physiques position et impulsion.


6. Références

Aux sources de la Mécanique Quantique Matricielle:
10 Sources of Quantum Mechanics, B. L. van der Waerden, Editor Gerald Holton,
10Dover Publications, New York, 1967.
10Ce livre rassemble et commente les 17 principaux articles qui ont fondé la Mécanique
10Quantique Matricielle, couvrant la période de 1917 à 1926. On y trouve l'article de
10Born et Jordan de 1925 et ceux de Heisenberg de la même année, mais pas celui de 1927.

Pour une discussion du principe d'incertitude:
10 Initiation à la Physique Quantique, V. Scarani, Edition Vuibert, 2006,
10dernière partie du chapitre 4.

Pour une présentation historique suivi d'une discussion philosophique:
10 The Uncertainty Principle, Standford Encyclopedias of Philosophy, 2006,
10(en anglais, accessible sur Internet)


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