Lettre de juillet 2016 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal

L'équation de Schrödinger

10L'équation trouvée par Schrödinger révolutionne l'approche de la mécanique quantique.


La Science n'est jamais à l'abri des surprises. Contrairement aux religions dogmatiques et aux idéologies figées, elle affronte les chocs que lui tend la réalité. Courageusement elle les examine puis les assimile petit à petit. Ainsi s'approche-t-elle toujours plus du monde réel.

C'est ce qui s'est passé avec la révolution quantique. Le vénérable Max Planck a trouvé une loi (la loi du corps noir) en combinant mathématiquement deux équations. Or il s'avère que cette loi reproduit exactement les données des expériences! Ce brillant résultat, obtenu mathématiquement, il fallait lui trouver une explication physique. Pour cela il faudra joindre aux travaux de Max Planck les contributions d'Albert Einstein, de Niels Bohr, d'Arnold Sommerfeld, de Werner Heisenberg, de Max Born, de Pascual Jordan, de Wolfgang Pauli, de Paul Dirac, du duc de Broglie, d'Erwin Schrödinger, et les expériences de James Franck, Gustave Hertz, Arthur Compton , Clinton Davisson, Otto Stern, tous Prix Nobel (sauf Sommerfeld et Jordan, injustice de l'Histoire), et ce n'est pas encore terminé! L'explication physique ultime manque toujours.

Quel choc le brave Planck, homme au caractère discret et très conservateur, a-t-il déclenché!

En 1925 la Physique Quantique était arrivée à une impasse lorsqu'en juillet le jeune Heisenberg fit paraître un article exalté et confus qui en révolutionnait l'approche. En gros, il proposait de reconstruire la Physique en n'utilisant que les résultats des expériences et en s'interdisant toute tentative d'explication, comme des images intuitives. Il terminait son travail par un exemple de mécanique élémentaire, montrant comment procéder. La communauté scientifique s'engouffra dans cette brèche, et tout alla très vite. Une suite d'articles fondamentaux parurent la même année et en janvier 1926 déjà Pauli et Dirac, indépendamment l'un de l'autre, obtenaient le spectre détaillé de l'atome d'hydrogène (voir la lettre La Mécanique Quantique Matricielle de Heisenberg).

La démarche de Heisenberg et consort écartait une autre voie, proposée par de Broglie en 1924, et qui avait retenu l'attention d'Einstein. L'idée de de Broglie était d'adjoindre à toute particule une onde, dont les caractéristiques, fréquence et longueur d'onde, s'obtenaient des formules de Planck-Einstein pour les photons, en en inversant le sens. Le but de de Broglie était d'unifier les lois de la Physique en traitant de la même manière les ondes et les particules (voir la lettre L'onde quantique associée de de Broglie).

Comme on le comprend aisément, ces ondes ne plaisaient pas à Heisenberg et à ses amis. C'était des objets inventés, non observés dans des expériences, et qui introduisaient la possibilité d'obtenir des images expliquant les phénomènes quantiques. Pour eux, ce n'était qu'un pas en arrière.

Erwin Schrödinger

Nous n'avons pas encore introduit Erwin Schrödinger (photo). Physicien autrichien, ayant fait ses études à Vienne, il avait 38 ans en 1925. Homme d'une grande culture, en physique, en mathématique et en philosophie, il avait déjà publié de nombreux articles sur la Physique Quantique naissante, sans rien de spectaculaire. D'ailleurs, cette physique confuse le décevait. Il avait décidé de tourner la page et de se consacrer à la philosophie, lorsqu'on lui proposa d'animer un séminaire sur la Physique Quantique en automne 1925 à l'université de Zurich. Il voulu refuser, mais comme personne d'autre ne pouvait le faire, il finit par accepter.

Ce travail ne lui plaisait guère. Il replongeait dans une forêt de théories ébauchées, chacune avec ses qualités et des défauts évidents. Or Einstein lui avait proposé de lire la thèse de de Broglie. Cela sonnait comme un appel à développer cette voie. Le voilà qui tourne et retourne des équations d'ondes. L'électron de l'atome est maintenant considéré comme une onde, sans qu'on s'intéresse à ce que cela peut bien vouloir dire. Seule compte une équation pour cette onde, et l'espoir d'en déduire le spectre de l'atome.

C'est pendant les vacances d'hiver, en montagne à Arosa, qu'il trouve la réponse. Il tient la fameuse équation! Il l'annonce dans une lettre datée du 27 décembre 1925. C'est une équation d'onde pour l'électron de l'atome d'hydrogène, satisfaisant à la fois aux règles quantiques de de Broglie et à celles de la Relativité. Mais il peine à la résoudre.

Rentré à l'université le 9 janvier 1926, il demande l'aide de son collègue Hermann Weyl, brillant mathématicien. En moins d'une semaine l'équation est résolue. Elle n'admet de solutions "acceptables" (voir ci-après) que pour certaines énergies bien définies. On obtient donc bien un spectre discret, comme dans le modèle de Bohr! Malheureusement, les écarts d'énergie entre les solutions ne sont pas du tout les bons.

Qu'à cela ne tienne! Schrödinger sortit de sa manche une autre équation, moins générale, qui ne respectait pas la Relativité. Mais cette déception était compensée par un succès spectaculaire: après résolution, les deux amis ont eu la surprise de découvrir que les solutions "acceptables" avaient pour énergie exactement le spectre de l'atome de Bohr!

L'article annonçant cette découverte fut reçu par le journal Annalen der Physik le 27 janvier 1926. L'article qui devait le précéder, traitant de l'équation relativiste, n'a jamais été envoyé. Sa rédaction est pourtant mentionnée dans le journal personnel de Schrödinger. Il a d'ailleurs été perdu.


1. Des ondes de de Broglie aux ondes des atomes

Nous allons nous concentrer sur la démarche qu'a peut-être suivi Schrödinger pour trouver son équation.

Rappelons que de Broglie suggère d'attribuer à toute particule élémentaire d'énergie E et d'impulsion P une onde de fréquence ν et de longueur d'onde λ définies par
10E = h ν
10P = h / λ 10000000000000 (1)
h est la constante de Planck. C'est en quelque sorte la réciproque de l'hypothèse de Planck-Einstein, qui voit la lumière formée de particules, les photons, dont l'énergie E et l'impulsion P sont données en terme de la fréquence ν et de la longueur d'onde λ par ces mêmes relations.

Le premier problème à résoudre était d'ordre conceptuel. Les ondes de de Broglie accompagnent des particules libres, évoluant dans l'espace sans rencontrer d'obstacles. L'électron de l'atome étant lié, son onde ne peut pas être de ce type.

Schrödinger s'est alors tourné vers les ondes stationnaires. Ce sont des ondes qui ne progressent pas dans l'espace mais qui vibrent sur place, comme la corde d'un violon.

Vibration d'une corde de violon

Lorsqu'on frotte une corde dont les extrémités sont fixes, elle vibre transversalement (dessin). En fait elle vibre dans toutes les directions perpendiculaires à sa position de repos.

Vibration fondamentale

Si la longueur de la corde est L alors la vibration, telle que sur le dessin ci-dessus, engendre une onde de longueur d'onde 2L. On appelle ce mouvement le mode fondamental. Or il y a d'autres modes, comme l'illustre l'image suivante.

Vibration de mode 2

Dans cet exemple la vibration, toujours transversale, engendre trois oscillations, séparées par deux nœuds. On a l'impression que la corde est divisée en trois parts égales qui vibrent indépendamment. Il n'y a pourtant qu'une seule onde, de longueur d'onde cette fois 2L/3.

Schrödinger a du penser que la généralisation des ondes de de Broglie pour l'électron d'un atome passe par la notion d'ondes stationnaires, dont la classification en termes de nombre de nœuds pourra générer la discontinuité du spectre d’énergie.


1.1 Un modèle: l'atome dans une boîte
Un exemple élémentaire de cette approche consiste en un modèle élémentaire pour l'atome d'hydrogène: le modèle de l'atome dans une boîte.

En physique, un modèle est une image volontairement simplifiée de la réalité, qui permet de tout calculer à peu de frais, le but étant de développer l'intuition.

Le modèle de l'atome dans une boîte consiste à supposer que la force électromagnétique sur l'électron a le simple effet suivant: l'électron reste éternellement enfermé dans une boîte sphérique centrée sur le noyau. L'électron sera alors représenté par une onde stationnaire, maximale au centre (où la force est la plus grande) et nulle aux bords de la sphère, et dont les nœuds (ici des surfaces) sont également sphériques et équidistants, comme sur l'image.

Modèle de l'atome dans une boîte

On n'a pas ici une onde sur une corde, mais dans l'espace. Il faut l'imaginer vibrer entre les nœuds. On a admis que la boîte a un diamètre de 1 Ångström, comme l'atome.

Le seul paramètre variable de ce modèle est le nombre de nœuds, N, qui peut varier de 0 (état fondamental) jusqu'à l'infini. Comme les nœuds sont équidistants, pour chaque N on peut calculer la longueur d'onde (qui vaut λ = 2/(2N+1) Å), puis l'impulsion P par la formule de de Broglie (1) (soit P = h(2N+1)/2). On utilise alors la relation de la Physique Classique entre impulsion et énergie pour calculer cette dernière (on trouve E = P2/2m = h2(2N+1)2/8m, où m est la masse de l'électron).

Ainsi dans ce modèle simple tout est aisément calculable. Les valeurs possibles de l'énergie sont discontinues et croissent avec N. De plus l'énergie minimale est bien définie (l'atome ne s'effondre pas!) et vaut E = h2/8m.

Ce modèle a bien les propriétés générales de l'atome de Bohr! C'est donc un modèle quantique tout à fait acceptable! Notons qu'il conduit à un spectre d'énergie sans qu'on ait fait appel aux expériences. Cependant les valeurs de l'énergie obtenues ne sont pas celle de l'atome, ce qui n'est pas étonnant vu les simplifications du modèle. Pour plus de détails sur ce modèle, consultez le livre Promenades dans le Monde Quantique, Chapitre 4, dont un extrait se trouve ici.


2. En route vers l'équation de Schrödinger

Schrödinger ne cherche pas à établir la formule de telle ou telle onde. Il veut trouver la condition générale pour toutes les ondes possibles décrivant l'électron de l'atome. Il cherche ce qu'on appelle en mathématique une équation différentielle.

Une équation différentielle est une relation mathématique entre une fonction et ses variations. Comme, par exemple, une équation qui relie le mouvement d'un objet à sa vitesse ou à son accélération. Une telle équation admet en général de nombreuses fonctions comme solution.

Une onde de longueur d'onde λ s'exprime mathématiquement comme une combinaison de sinusoïdes. L'ensemble de ces fonctions satisfait à l'équation différentielle suivante
10Equation d'onde
f () est la fonction d'onde au point de l'espace et Δ un opérateur de différentiation appelé Laplacien (utilisant des variations de la fonction). En remplaçant λ par son expression dans la formule de de Broglie on obtient
10Equation d'onde de de
               Broglie
(ici P2 est le carré de la longueur du vecteur ).
Or, en admettant que la Physique Quantique respecte les grands principes de la Physique Classique (c'est ici qu'on renonce à la Relativité), l'énergie E de l'électron satisfait la relation
10Energie de la Mécanique
               Classique
V() est l'énergie électrique potentielle de l'électron. En éliminant P2 de l'équation on trouve
10Equation de Schrödinger
C'est l'équation de Schrödinger pour l'atome d'hydrogène. Il faut comprendre cette équation ainsi: les inconnues sont l'énergie E (un nombre) et la fonction f (). La résoudre revient à chercher s'il existe une telle fonction "acceptable" et à calculer le nombre E qu'elle admet. Une fonction f () est acceptable si elle est limitée pour tout , comme il se doit pour une onde.

Le développement ci-dessus ne constitue en aucune façon une démonstration de l'équation de Schrödinger, c'est seulement une argumentation pour la rendre intuitive. Il n'y a aucune raison de théorie en Physique pour introduire l'énergie mécanique d'une particule dans une équation d'onde! Le seul intérêt de cette démarche est le fait, quasiment miraculeux, que ses solutions engendrent le spectre complet de l'atome d'hydrogène.

Or son succès ne se limite pas à cet atome. L'équation de Schrödinger se généralise à tous les atomes et à toutes les molécules. Elle s'applique à tout système physique à l'échelle atomique, dans lequel la Relativité n'intervient pas.


2.1 Rappel historique: la révolution d'Isaac Newton
Schrödinger a-t-il pensé à son illustre prédécesseur? Newton se trouva dans une situation semblable, quoique bien plus difficile. Kepler avait résolu le problème du mouvement de la planète Mars. Mais sa méthode ne permettait pas de poser le problème du mouvement de plusieurs planètes. Newton chercha alors une équation générale qui admette, parmi ses solutions, le mouvement de Kepler. Il obtint ainsi une équation différentielle.

Or à l'époque, le calcul différentiel et intégral, le cadre général dans lequel se traitent les équations différentielles, n'était pas du tout connu. Pour résoudre son équation, Newton a du inventer lui-même, de toute pièce, ce monument des mathématiques. Alors seulement, il put démontrer que le mouvement de Kepler était bien une solution de son équation.

Or cette équation était de portée beaucoup plus générale. Elle permettait de traiter tous les mouvements de la gravitation, sur terre comme dans l'univers. De plus la méthode utilisée pour trouver cette équation pouvait se généraliser à tous les systèmes mécaniques. Dans son livre monumental Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle), paru en 1687, Newton crée la Mécanique Classique, soit les bases de toute la physique pendant deux siècles, et de la physique à notre échelle encore maintenant.

Le parallèle entre Newton et Schrödinger n'est pas qu'historique. Ils jouent tous deux le rôle central dans deux domaines de la Science. Si l'équation de Newton permet de traiter tous les systèmes physiques à notre échelle, l'équation de Schrödinger prend sa place à l'échelle atomique.

Newton et Schrödinger ont tous deux provoqué un changement de paradigme, soit un changement de direction de la Physique. Il est intéressant de comparer leur démarche: c'est en généralisant, en traitant un plus grand nombre de problèmes à la fois, en prenant de l'altitude, c'est-à-dire, mathématiquement, en élevant le niveau d'abstraction, qu'on peut espérer obtenir une véritable bifurcation de la Science, un changement de paradigme.


3. Le rayonnement de l'équation de Schrödinger

On peut imaginer le choc qu'ont du ressentir Heisenberg et ses amis lorsqu'ils eurent dans les mains l'article de Schrödinger! Tout l'effort qu'ils avaient fait pour ne considérer que les données des expériences n'apportait pas plus qu'une simple équation, qui traitait d'ondes purement fantaisistes! Quelle déception!

Mais il fallait se rendre à l'évidence. Le spectre de l'atome d'hydrogène était beaucoup plus facile à obtenir par l'équation d'onde que par le calcul des matrices. De plus la généralisation aux autres atomes et à toutes les molécules était immédiate par la méthode de Schrödinger.

Enfin le coup de grâce de la théorie des matrices est venu de l'expérience. Dans cette même année 1926 les américains Clinton Davisson et Lester Germer mirent en évidence expérimentale la diffraction des électrons sur un cristal (voir la lettre L'onde de matière, première vérification expérimentale). Les électrons se comportent effectivement comme des ondes, avec des longueurs d'onde prévues par la formule de de Broglie.

Restait encore un mystère. Comment comprendre que deux approches complètement différentes donnent le même spectre de l'atome d'hydrogène? Nous en parlerons dans la prochaine lettre.


4. Références

Vie et pensées de Schrödinger:
10 Schrödinger, life and thought, Walter Moore, Cambridge University Press, 1992
10 Présentation complète de la vie et des travaux scientifiques de Schödinger en plus de 500
10 pages (en anglais)

Articles originaux:
10 Collected papers on wave mechanics, Erwin Schrödinger, AMS Chelsea Publishing, 2001
10 Liste des articles qui ont fondé la Mécanique Ondulatoire, ainsi que quelques conférences
10 (en anglais)


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