Lettre d'octobre 2016 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal

Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle

10Dans une brillante série d'articles Schrödinger crée la Mécanique Quantique Ondulatoire.


Ainsi donc, ce 27 janvier 1926, Erwin Schrödinger court-circuite les premiers pas de la Mécanique Quantique naissante, initiée par Heisenberg et poursuivie par Max Born, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli et Paul Dirac. Une simple équation d'onde, représentant les particules par des ondes sans qu'on comprenne pourquoi, arrivait aux mêmes résultats qu'une succession d'articles d'auteurs prestigieux!

D'où Schrödinger, alors peu connu (malgré une cinquantaine de publications!), a-t-il trouvé l'audace et l'énergie de se lancer dans cette recherche? Il a laissé peu d'information, étant d'un naturel discret (contrairement à Heisenberg). On peut penser que l'ombre du grand Albert Einstein planait pas loin. Schrödinger l'avait rencontré dans des réunions scientifiques (ainsi que Max Planck), et un échange de lettres s'en était suivi, qui traitaient d'autres problèmes (Einstein était alors occupé par la théorie des gaz de bosons). Comme seule indication, Schrödinger admet avoir été intrigué par une remarque d'un article d'Einstein, faisant référence à la thèse de Louis de Broglie. Il se mit à étudier cette thèse pendant l'automne 1925. D'autre part il était au courant des travaux de Heisenberg et consort, qui ne le satisfaisaient pas, vu leur aspect de bricolage. Il entreprit donc, dès décembre 1925, de s'attaquer à l'atome d'hydrogène avec l'idée des ondes de matière de Louis de Broglie.

Son article de janvier 1926 fit l'effet d'une bombe dans le petit monde des initiateurs de la Physique Quantique. Or, au lieu de se reposer sur ce succès, il continua de bombarder sans pitié: 9 articles furent envoyés aux plus grands journaux scientifiques la même année (voir la liste ci-dessous). A quelques détails près, la Mécanique Quantique, à peine commencée, était achevée!


  Titre de l'article     Journal   Date réception Année parution
1 1Quantisierung als Eigenwertproblem I Annalen der Physik 27/01/1926 11926
2 1Quantisierung als Eigenwertproblem II Annalen der Physik 23/02/1926 11926
3   Der stetige Übergang von der Mikro- zur   Makromechanik Die Naturwissenschaften - 11926
4 Über das Verhältnis der Heisenberg-Born- Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen Annalen der Physik 18/03/1926 11926
5 1Quantisierung als Eigenwertproblem III Annalen der Physik 10/05/1926 11926
6 1Quantisierung als Eigenwertproblem IV Annalen der Physik 21/06/1926 11926
7  An ondulatory theory of the mechanics of atoms and molecules Physical Review 03/09/1926 11926
8 1Über den Comptoneffekt Annalen der Physik 30/11/1926 11927
9 1Der Energieimpulssatz der Materiewellen Annalen der Physik 10/12/1926 11927

Or Schrödinger avait encore d'autres activités! Cette même année voit la publication de 4 articles de sa main, traitant de divers sujets de physique. Il avait de plus des tâches de professeur à l'Université de Zurich, la charge de plusieurs cours et la participation à des séminaires...

Remarque personnelle: Envoyer autant d'articles si importants en si peu de temps est un coup de force. Lorsqu'une recherche aboutit à un résultat, ce qui est déjà un exploit, le travail n'est de loin pas terminé. L'écriture de l'article demande énormément de temps. Il sera lu dans le monde entier, par des lecteurs de cultures scientifiques très différentes, qu'il faut s'attacher à convaincre. Chaque phrase, chaque mot doit donc être pesé soigneusement.

Reprenons chacun de ces articles pour en esquisser le contenu.


1. La quantification comme problème de valeurs propres, Partie I

Titre original: Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung)
Annalen der Physik 4, vol 79, 1926 (12 pages). Reçu le 27 janvier 1926

C'est le sujet de la lettre précédente, L'équation de Schrödinger. L'auteur présente une équation d'onde pour l'atome d'hydrogène, et donne sa résolution complète. L'équation n'est pas déduite de la physique habituelle, mais obtenue (voir devinée) grâce à des considérations intuitives. Son intérêt tient au fait que sa résolution fournit le spectre de l'atome (formule de Balmer), la décomposition en couche (conformément à l'hypothèse de Bohr), et en sous-couches, selon une structure qui ressemble à celle du tableau de Mendeleïev.

Notons que cette structure a aussi été obtenue dans le cadre de la Mécanique Quantique Matricielle, par Pauli et Dirac (indépendamment l'un de l'autre), dans des articles parus en janvier 1926.

Le titre de l'article indique que l'équation d'onde est vue comme un problème de valeurs propres (la notion de valeurs et vecteurs propres est présentée dans la lettre Le Principe d'Incertitude de Heisenberg).


2. La quantification comme problème de valeurs propres, Partie II

Titre original: Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung)
Annalen der Physik 4, vol 79, 1926 (28 pages). Reçu le 23 février 1926

Schrödinger se lance dans la recherche d'une explication plus générale de l'équation d'onde, reliant l'optique et la mécanique, en prolongement de l'esprit de la thèse de de Broglie.

Il traite ensuite des exemples standards dans le cadre de la Physique Quantique Ondulatoire:
1- l'oscillateur harmonique, autrement dit le mouvement d'un ressort (il retrouve les résultats
10déjà obtenus par la Mécanique Matricielle),
1- le rotateur d'axe fixe (vibration autour d'un axe) ou d'axe libre (vibration autour d'un point),
1- la molécule diatomique, en combinant les exemples précédents.


3. Transition continue de la micro- à la macro-mécanique

Titre original: Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik
Die Naturwissenschaften, 28 1926 (5 pages)

Dans ce court article l'oscillateur harmonique (mouvement d'un ressort) quantique est repris de l'article précédent. L'auteur montre qu'en effectuant des combinaisons de fonctions propres de haute énergie on obtient des comportements qui se rapprochent de ceux de la Physique Classique. C'est en fait le principe de correspondance de Bohr (voir La Mécanique Quantique Matricielle de Heisenberg) revisité dans un cadre plus rigoureux pour un exemple précis.


4. Relation entre la Mécanique Quantique de Heisenberg et celle de Schrödinger

Titre original: Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen
Annalen der Physik 4, vol 79, 1926 (17 pages). Reçu le 18 mars 1926

Question fondamentale s'il en est: comment se fait-il que deux théories, a priori différentes, conduisent systématiquement aux mêmes résultats? Schrödinger donne une réponse: la Mécanique Quantique Matricielle initiée par Heisenberg et la Mécanique Quantique Ondulatoire qu'il vient de découvrir sont mathématiquement équivalentes!

Donnons l'idée de base de cet important résultat, sans suivre strictement l'article de Schrödinger, assez compliqué. Rappelons d'abord que les fonctions d'onde, comme toutes fonctions, peuvent être additionnées et multipliées par des nombres. Cela permet de faire des combinaisons linéaires entre elles, comme par exemple 2f(x)+ 5g(x)−3h(x). L'ensemble des fonctions forment ainsi mathématiquement un espace de vecteurs.

Schrödinger propose de se restreindre aux fonctions f(), où désigne un point quelconque de l'espace, pour lesquelles l'intégrale* suivante
10 ∫∫∫ |f()|2 d 10est définie 100000000000000000000000000000000000(1)
où | . | désigne la norme (ou valeur absolue) d'un nombre complexe (en effet les fonctions qui sont solutions de l'équation d'onde possèdent une partie imaginaire; ce fait a beaucoup intrigué Schrödinger, qui y revient souvent). Pour une explication des nombres imaginaires et complexes, voir le Rappel 1 de la lettre Le Principe d'Incertitude de Heisenberg.

Intégrale

* Rappel: l'intégrale d'une fonction à une variable ∫ f(x)dx mesure l'aire engendrée par la fonction en tenant compte de son signe (dans le dessin, l'intégrale de la fonction est la surface rouge moins la surface verte). Pour des intégrales de fonctions à plusieurs variables, comme c'est le cas pour (1), on effectue successivement les intégrales sur chaque variable.

Pour des fonctions f et g satisfaisant (1) l'intégrale suivante est aussi définie
10 ∫∫∫ () g() d = (f |g)1000000000000000000000000000000000000000(2)
ce qu'on décide de désigner par le symbole (f |g). Ici () signifie le complexe conjugué de f() (c'est-à-dire la partie imaginaire changée de signe).

Notons que (f |g) peut être nul sans que f ni g le soient. Dans ce cas on dit que f et g sont orthogonales entre elles.

Introduisons encore une propriété. La fonction f() est dite normée si l'intégrale (1) vaut 1, soit si
10 ∫∫∫ |f()|2 d = 1 .100000000000000000000000000000000000000000000(3)

Supposons alors qu'il existe un ensemble de fonctions normées et orthogonales entre elles générant toutes les fonctions (nous reviendrons sur cette supposition plus loin):
10{f1(), f2(), ..., fn(),...} 10000000000000000000000000000000000000(4)
c'est-à-dire que toute fonction f() peut s'écrire comme une combinaison linéaire
10f() = a1f1() + a2f2() + ... + anfn() + ... 100000000000000000000000(5)
a1, a2,...,an, ... sont des nombres (complexes en général). Les propriétés de normalité et d'orthogonalité de (4) permettent d'obtenir des formules simples pour ces nombres: pour a2 par exemple:
10a2 = (f2 | f) 100000000000000000000000000000000000000000000000000(6)
ce qui se montre facilement en utilisant (5):
10(f2 | f) = a1 (f2 | f1) + a2 (f2 | f2) + ... + an (f2 | fn) + ...
1000000= a1⋅0 + a2⋅1 + ... + an⋅0 + ... = a2 . 1000000000000000000000000(7)

Ecrivons alors l'équation de Schrödinger sous une forme résumée:
10 E f() = H f() 10000000000000000000000000000000000000000000000(8)
E est un nombre (la valeur propre), f() est la fonction d'onde (la fonction propre) et H un opérateur faisant intervenir les variations de f() et l'énergie potentielle. H est appelé l’Hamiltonien du système et est donné par la formule de l'énergie écrite sous une certaine forme.

En remplaçant f() dans (8) par l'expression (5), puis en répétant les techniques qui ont permis de trouver (6) et (7) on obtient, pour am par exemple
10am E = Hm,1 a1 + Hm,2 a2 + ... + Hm,n an + ... 10000000000000000000000(9)
où on a posé
10Hm,n = (fm | H fn) 1000000000000000000000000000000000000000000000(10)
pour tout entier m et n.

L'hamiltonien H devient alors une matrice Hm,n dont (9) est l'équation donnant ses valeurs propres E et vecteurs propre (a1, a2,...,an, ....).

On est donc passé d'un problème de valeurs propres pour des fonctions (l'équation d'onde de Schrödinger) à un problème de valeurs propres pour des matrices. Cela établit un lien entre les deux versions de la Mécanique Quantique, à partir duquel on peut démontrer leur équivalence.

Remarque 1: La démonstration suppose qu'il existe un ensemble de fonctions orthogonales (4) générant toutes les fonctions. C'est une question de mathématique délicate. Un espace de vecteurs satisfaisant cette propriété est dit un espace de Hilbert. Or il se trouve que l'ensemble des fonctions satisfaisant la condition (1) forme un espace de Hilbert. D'où l'importance de cette condition. Notons qu'il existe en général une infinité d'ensembles comme (4) dans un espace de Hilbert.

Remarque 2: La preuve de l'équivalence des deux versions n'est pas irréprochable. En fait on s'intéresse seulement à montrer qu'on trouve les mêmes résultats pour tous les exemples de systèmes mécaniques. Or des approches si différentes laissent toujours des traces. Heisenberg avait comme but d'arriver à calculer les probabilités de transition entre états (même s'il n'y est pas parvenu) tandis que dans l'approche de Schrödinger on ne peut même pas poser le problème (voir point 6). D'autre part la méthode de l'équation d'onde évite de dépendre du choix d'un ensemble comme (4), qui introduit un arbitraire lourd et inutile.

Remarque 3: La même année 1926 a vu deux autres publications sur l'équivalence, celle du hongrois Cornelius Lanczos et de l'étasunien Carl Eckart, de Caltech. De plus Pauli en a donné une démonstration dans une lettre à Jordan datée du 12 avril 1926 et non communiquée.


5. La quantification comme problème aux valeurs propres, Partie III

Titre original: Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung)
Annalen der Physik 4, vol 80, 1926 (40 pages). Reçu le 10 mai 1926
Sous-titre: Théorie de perturbation, avec application à l'effet Stark sur les raies de Balmer

Lorsqu'on plonge un atome d'hydrogène dans un champ électromagnétique statique, son spectre de raies lumineuses est déformé. Les raies changent de couleur et certaines se démultiplient. Dans un champ purement électrique, ce phénomène est l'effet Stark, et dans le cas purement magnétique, l'effet Zeeman. L'équation d'onde s'écrit alors sans difficulté, mais la résoudre est une autre affaire! Schrödinger opte pour une méthode de calcul par approximations, dans le cas d'un champ électrique statique faible, adaptée de la physique des ondes classiques. Cette méthode porte le nom de théorie des perturbations. Il aboutit à des résultats numériques qu'il compare aux données des expériences, avec un excellent accord.


6. La quantification comme problème aux valeurs propres, Partie IV

Titre original: Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung)
Annalen der Physik 4, vol 81, 1926 (22 pages). Reçu le 21 juin 1926

Il manquait une pièce centrale à l'édifice de la Mécanique Quantique Ondulatoire, l'appréhension de l'évolution temporelle. La Physique se veut une construction cohérente qui rende compte des expériences. Mais on souhaiterait plus, qu'elle colle à la réalité de la Nature! Pour le tester, il n'y a pas de meilleur moyen que de vérifier ses prévisions futures. Il faut donc impérativement pouvoir décrire l'évolution dans le temps des fonctions d'onde.

Dans le cas des ondes stationnaires, l'évolution s'obtient naturellement, puisque qu'elles décrivent des phénomènes périodiques. Il suffit alors de multiplier la fonction d'onde au temps t=0, f(,0) (qui joue le rôle d'amplitude), par une une fonction du temps périodique dont la fréquence ν est donnée en terme de l'énergie par la loi de Planck ν=E/h, comme par exemple la fonction cos(2πνt) = cos(2πEt/h). Pour que la fonction d'onde reste normée au cours du temps on remplace le cosinus par une exponentielle, en utilisant la formule d'Euler eia=cosa+ isina. Ainsi la fonction d'onde au temps t, f(,t), est donnée en terme de la fonction au temps 0 par
10f(,t) = e2πiνt f(,0) = e2πiEt/h f(,0) . 10000000000000000000000000000(11)
Pour des ondes non stationnaires, donc pour le cas général, l'équation de Schrödinger (8) suggère de remplacer la valeur propre E par l'opérateur Hamiltonien H, ce qui donne la formule générale:
10f(,t) = e2πiHt/h f(,0) . 1000000000000000000000000000000000000000000(12)
C'est parfois cette formule qui est appelée l'équation de Schrödinger, puisque l'"ancienne" s'en déduit facilement pour les ondes stationnaires.

L'introduction de l'évolution temporelle dans la Mécanique Quantique Ondulatoire permet d'aborder l'atome d'hydrogène dans un champ électromagnétique variable, et en particulier dans un rayonnement lumineux. La résolution de l'équation obtenue étant trop difficile, Schrödinger développe une méthode d'approximation appelée théorie des perturbations dépendantes du temps. Il retrouve ainsi en 1re approximation la formule de dispersion, qui avait servi de point de départ à Heisenberg.

Mais il ne peut rien en déduire lorsque la fréquence du rayon lumineux vaut exactement l'une des valeurs du spectre de l'atome, cas où la formule de dispersion perd son sens. C'est-à-dire qu'il ne peut pas en déduire les probabilités de transition introduites par Einstein. On atteint là les limites de la Mécanique Ondulatoire, comme de la Mécanique Matricielle. En effet le champ lumineux est traité commue une onde, et non quantiquement, comme une assemblée de photons. C'est donc une approche semi-quantique. Il faudra attendre l'Electrodynamique Quantique pour traiter le problème en toute généralité.

Le dernier paragraphe de l'article discute du sens physique de la fonction d'onde. Lors des calculs de perturbation de l'atome dans un champ extérieur et de leur comparaison avec les donnés expérimentales, Schrödinger s'est convaincu que la grandeur suivante
10 e |f()|2 10000000000000000000000000000000000000000000000000000(13)
e est la charge de l'électron et f() la fonction d'onde normalisée, représente la densité de charge au point . Ainsi la charge contenue dans un volume de l'espace est donnée par l'intégrale de cette expression sur ce volume. En particulier, pour obtenir la charge entière de l'électron, il faut intégrer cette expression sur tout l'espace.


7. Une théorie ondulatoire de la mécanique des atomes et des molécules

Titre original: An ondulatory theory of the mechanics of atoms and molecules
Physical Review, vol 28, 1926 (22 pages). Daté du 3 septembre 1926

Présentation, dans le plus grand journal de physique de langue anglaise, de la Mécanique Quantique Ondulatoire et de ses résultats.


8. L'effet Compton

Titre original: Über den Comptoneffekt
Annalen der Physik 4, vol 82, 1927 (6 pages). Reçu le 30 novembre 1926

Arthur Compton avait publié en 1923 les résultats de ses travaux concernant la diffusion de photons sur des électrons (voir Les photons mis en évidence par l'effet Compton). Or dans la vision de de Broglie, les électrons sont aussi des ondes, ce qui pose autrement le problème. En fait, c'est l'image de l'interaction de base lumière – matière d'Einstein (voir Le défi quantique d'Einstein) qui est bouleversée.

Interaction photon-électron

Notons qu'il s'agit d'un problème d'électrons libres, donc d'ondes de de Broglie, et non d'électrons liés. Cependant la Mécanique Ondulatoire se devait de relever ce défit. Dans une lettre à Wilhelm Wien, qui lui avait signalé le problème, Schrödinger avoua qu'il ne voyait pas comment s'y prendre.

Peu après il reçut un mémoire d'un élève de Planck, Walter Gordon, qui s'était attaqué courageusement au problème. Stimulé, Schrödinger écrivit l'article en question pour présenter le travail de Gordon et proposer une autre approche. L'interaction entre ondes de natures différentes avait été abordée en Physique Classique. Le français Léon Brillouin avait étudié la traversée d'une onde lumineuse dans une onde sonore. L'interaction provient du fait que la vitesse de la lumière dépend de la densité de l'air, qui varie dans une onde sonore. Adaptant cette étude aux ondes de de Broglie et aux photons, Schrödinger parvint à établir l'équation de conservation de l'énergie et de l'impulsion, celle-là même qui est à la base du résultat de Compton.


9. Le théorème de l'énergie et de l'impulsion pour les ondes de matière

Titre original: Der Energieimpulssatz der Materiewellen
Annalen der Physik 4, vol 82, 1927 (7 pages). Reçu le 10 décembre 1926

Présentation de l'équation d'onde générale pour des particules chargées dans un champ électromagnétique quelconque, satisfaisant à la fois la Mécanique Quantique et la Relativité.


10. Réactions internationales

La communauté des physiciens fut subjuguée par cette avalanche d'articles. Planck et Einstein furent tout de suite conquis. Dans une lettre à Schrödinger du 16 avril Einstein, pourtant avare en compliments, l'assure que son équation est une idée de véritable génie (Der Gedanke Ihrer Arbeit zeugt von echter Genialität!). Les autres furent plus circonspects. Mais passé un moment de surprise, Pauli, Dirac et Born profitèrent de cette grande porte ouverte à la science. C'est Bohr qui dut être le plus bousculé. La Mécanique Quantique Matricielle partait de sa théorie, alors que Schrödinger ne l'avait même pas utilisée.

Il est connu que Schrödinger travaillait seul. Cependant il était en contact permanent avec ses collègues de l'Université et de l'Ecole Polytechnique de Zurich, en particulier le mathématicien Hermann Weyl. De plus il poursuivait un intense échange de lettres, avec Einstein et Planck, à Berlin, et Sommerfeld et surtout le physicien expérimentateur Wilhelm Wien, à Munich. Enfin ses séminaires à Zurich attiraient nombre d'éminents chercheurs intrigués par cette nouvelle physique. Par contre ses tâches d'enseignement l'empêchaient souvent de participer aux rencontres scientifiques hors de Suisse, même lorsqu'elles avaient pour thème ses découvertes!

Schrödinger reçut en mai une lettre du grand physicien néerlandais Hendrik Lorentz (qui fut le deuxième prix Nobel de l'histoire, en 1902), âgé alors de 73 ans. Treize pages d'une analyse fine et sans complaisance de la Mécanique Quantique Ondulatoire! Citons trois critiques toujours d'actualité. D'abord sur le concept d'onde de matière: elle devrait s'étaler et se disperser avec le temps, contrairement à une particule. Puis sur l'équation d'onde, qui fait intervenir le potentiel du noyau mais pas le champ électromagnétique produit par l'électron. Enfin sur la fonction d'onde de systèmes à plusieurs particules, f(1, 2, ..., k, ...), où k désigne la position de la ke particule. Comment déduire de toutes ces variables l'espace où nous sommes, disons, celui du laboratoire? Sur toutes ces questions, la Physique Quantique n'a toujours pas répondu clairement.

Erwin Schrödinger fut récompensé pour la découverte de la Mécanique Quantique Ondulatoire par le prix Noble en 1933.


11. Références

Vie et pensées de Schrödinger:
10Schrödinger, life and thought, Walter Moore, Cambridge University Press, 1992
10Présentation complète de la vie et des travaux scientifiques de Schödinger en plus de 500
10pages (en anglais)

Articles originaux:
10Collected papers on wave mechanics, Erwin Schrödinger, AMS Chelsea Publishing, 2001
10Liste des articles qui ont fondé la Mécanique Ondulatoire, ainsi que quelques conférences
10(en anglais)

Histoire scientifique détaillée:
10The creation of wave mechanics, 1925-1926, Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg, dans
10The historical development of quantum theory, Volume 5, Partie 2, Springer, Library of
10Congress Cataloging in Publication Data, 1987, 615 pages (en anglais)
10Les diverses preuves d'équivalence entre les deux théories quantiques occupent un chapitre
10d'environ 50 pages!

Lettre de Pauli sur l'équivalence:
10From Matrix Mechanics and Wave Mechanics to Unified Quantum Mechanics,
10B. L. Van der Warden, Notices of the AMS, Vol 44 n. 3, 1977 (en anglais)
10Communication pour les 70 ans de Dirac; elle peut être obtenue sur internet.


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