Lettre de décembre 2016 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal
(améliorée en avril 2017 selon des suggestions de Pierre Bader)

La rupture: l'interprétation probabiliste de la Mécanique Quantique

10L'interprétation de la fonction d'onde proposée par Max Born souleva une vive polémique.


Tandis que petit à petit, la communauté des créateurs de la Physique Quantique se soumettait à l'utilisation des fonctions d'onde et à l'équation de Schrödinger, au fantastique potentiel, la question du statut physique de ces ondes prenait de l'importance. Quel rapport pouvaient-elles donc entretenir avec le monde des expériences?

Max Born

Dans un bref article intitulé Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, publié dans Zeitschrift für Physik, reçu par ce journal le 25 juin 1926, Max Born (photo, Wikipedia) se lance dans un nouveau développement, l'étude des collisions entre des électrons, représentés par des ondes, et un gros atome. Dans une note en pied de page il indique que son résultat suggère une interprétation probabiliste de la fonction d'onde. Cette petite remarque, combattue aussitôt par les fondateurs de la Physique Quantique, fera son chemin malgré eux et vaudra à son auteur le prix Nobel quelque 30 ans plus tard!

Pour comprendre la démarche de Born il est nécessaire de revenir en arrière.


1. Les phénomènes expérimentaux comme fondements de la Physique

La première formulation de la Mécanique Quantique résultait de la volonté de ne considérer que les phénomènes physiques observés, sans introduire d'interprétations ni d'images suggestives, comme des trajectoires par exemple. Heisenberg se faisait un point d'honneur à se restreindre strictement aux résultats des observations.

Par contre la formulation utilisant des ondes soumises à l'équation de Schrödinger ne faisait appel à aucun phénomène observé: l'équation en question ne fait intervenir que la formule de l'énergie issue de la Physique Classique! La résolution de l'équation fournit le spectre d'énergie que Bohr avait déduit des raies lumineuses observées, ainsi qu'une structure pour les atomes qui suggère le tableau périodique de Mendeleïev. En quelque sorte, on n'est pas parti des résultats des expériences, mais on les obtient après coup.

De plus, contrairement aux efforts de Heisenberg et consort, la proposition ondulatoire permet de se faire des images. Les atomes sont enrobés d'ondes, qui les habillent jusqu'à l'infini. Comme ce sont des ondes stationnaires elles disposent de nœuds, c'est-à-dire de surfaces immobiles sur lesquelles les ondes sont perpétuellement nulles. Les ondes vibrent donc seulement entre ces surfaces.

Cela conduit donc à des représentations imagées des atomes. Mais il faut bien avouer que ce n'est pas très éclairant. Bien au contraire! un jeu de surfaces fixes et quelque chose qui vibre entre elles, dont on ignore la nature, voilà ce qui est sensé représenter les électrons gravitant autour du noyau... Avouons que ce n'est pas des plus limpides!

Pour progresser, Born propose de revenir à la démarche initiale de Heisenberg en ne s'appuyant que sur des phénomènes observables. Il s'intéresse au problème du choc d'un électron contre un gros atome, supposé fixe. Avant la collision, l'électron est décrit par une onde "à la de Broglie", représentant une particule libre. Après la collision on s'attend à trouver de nouveau un électron libre, décrit de façon analogue.

Si l'énergie de l'électron n'est pas trop grande, on peut considérer le gros atome comme spectateur et le traiter, en première approximation, comme un simple obstacle. On se place dans le cas où l'atome ne change pas d'état ni n'absorbe l'électron.

Notons que Born est le premier à s'intéresser à de tels processus, qui portent le nom générique de diffusion, et qui connaîtront un gigantesque avenir. Qu'on pense aux grands accélérateurs du CERN, par exemple, qui ne font que mesurer inlassablement des processus de diffusion!

Le problème équivalant en Physique Classique des ondes est bien connu. L'onde incidente, vagues linéaires sur l'eau ou onde plane du son dans l'espace, est arrêtée par l'obstacle puis réfléchie dans toutes les directions, ce qui fournit des vagues circulaires sur le lac ou des ondes sphériques dans l'espace.

Onde incidente et onde sortante

Born en déduit un comportement analogue des ondes de de Broglie. Cela le conduit à une difficulté sérieuse: l'onde incidente, décrivant une particule libre, se propage dans la direction du mouvement de la particule. Mais l'onde sortante est d'un tout autre type, elle s'élance tout autour de l'obstacle!

Il est hors de question d'admettre que l'électron diffusé parte dans toutes les directions à la fois: il reste toujours une particule élémentaire, il ne peut pas éclater en se propageant!


2. Apparition des probabilités

Dans son discours de réception du prix Nobel, Born raconte l'origine de sa plus célèbre idée. En fait il attribue l'irruption des probabilités en Physique Quantique à ... Einstein! En effet, Einstein a introduit les probabilités dans son article de 1917 sur l'interaction entre photons et électrons, qui a conduit au rayonnement induit, puis au laser (voir la lettre L'émission induite et le rayon laser).

Pour comprendre cela, revenons quelque peu en arrière.

Nous avons vu que la Mécanique Quantique est issue des étranges raies lumineuses émises par les atomes lorsqu'on les excite, en les mettant dans une flamme par exemple. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, les raies ont été étudiées par Balmer, puis Niels Bohr en a déduit sa théorie (voir la lettre L'atome de Bohr).

Il y a une autre information que donnent les expériences, dont je n'ai pas parlé. Les raies émises ne sont pas de même intensité. Certaines sont très lumineuses, d'autres très faibles, à la limite du visible. Ainsi, lorsqu'un atome reçoit des photons de toutes couleurs, il en choisit certains plutôt que d'autres. Certaines transitions sont favorisées, d'autres sont désavantagées. Cela se produit pour l'absorption de photons et aussi pour l'émission.

Einstein invente une nouvelle grandeur physique qui puisse à la fois rendre compte de ces différences et être facilement mesurable. Il introduit alors les probabilités de transitions. Toutes les transitions possibles d'un atome sont donc affublées d'une certaine probabilité, qui indique celles qui sont les plus probables. La mesure de l'intensité relative des raies émises ou absorbées permet de déterminer ces grandeurs.


3. Comment les probabilités permettent de résoudre le problème de l'éclatement de l'électron

En s'inspirant de l'idée d'Einstein, Born considère le passage de l'électron incident à l'électron sortant dans une direction particulière comme une transition, soumis donc à une probabilité. Il y a donc une famille de probabilités engendrée par les diverses directions sortantes.

Mathématiquement, désignons par Ψin() l'onde incidente juste avant le choc, où désigne un point quelconque de l'espace, et par Ψout() l'onde sortante juste après. Nous admettons que ce sont des fonctions normées, c'est-à-dire satisfaisant:

Norme des ondes incidente et 
               sortante

comme expliqué dans la lettre précédente (Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle), où | . | désigne la norme (ou valeur absolue) d'un nombre complexe.

Onde dans un cône

Or l'onde sortante va dans toutes les directions. Pour obtenir l'onde sortante dans une direction précise on doit la restreindre à un cône étroit autour de cette direction. Comment l'obtenir mathématiquement? Une méthode (radicale) consiste à couper la fonction Ψout() hors du cône, c'est-à-dire à la remplacer par 0 dès que est hors du cône (il y a des méthodes plus subtiles, mais l'idée est la même). Notons Ψout,C () cette onde coupée, où C désigne le cône choisi.

Born s'intéresse donc à la probabilité de transition passant de Ψin() à Ψout,C (). Pour cela, la grandeur mathématique la plus simple dont il dispose est l'intégrale du produit de ces fonctions:

Produit scalaire in out,C

Or cette grandeur n'est pas nécessairement positive (elle peut même être complexe). Born propose d'en prendre la valeur absolue et de définir la probabilité de transition par:

Probabilité de transition 
               in out,C

Notons que c'est un nombre positif compris entre 0 et 1, comme il se doit pour une probabilité.


4. Conséquence de (3) : une nouvelle interprétation de la fonction d'onde

Considérons une particule se propageant librement dans l'espace. En Mécanique Quantique elle est décrite, à un instant donné, par une fonction d'onde "à la de Broglie" Ψ().

Prenons la transition triviale Ψ() → Ψ(), c'est-à-dire sans changement. Sa probabilité est 1, soit 100%. En vertu de (3) ce fait s'écrit:

Probabilité certaine

Or c'est justement la condition de normalisation (1)! qui acquiert ainsi une autre interprétation, celle d'une probabilité certaine. Si l'intégrale (4) n'est pas prise sur tout l'espace, mais seulement sur un volume V, alors le résultat est (en général) inférieur à 1, d'autant plus petit que V est limité. Cela conduit à une relation entre probabilités ∫∫∫V |Ψ()|2 d et portions d'espace V. Dans une petite note en bas de page Born suggère d'associer cette probabilité à la présence de la particule dans V. Pourquoi la présence? Pour la même raison qu'on a admis que Ψout,C () décrivait la particule sortante limitée au cône C!

En résumé on arrive donc à la proposition suivante:

Probabilité de présence

dont on déduit, en un point précis, le résultat:

Densité de probabilité 
               de présence

La formule (6) permet donc d'attribuer un sens physique de la fonction d'onde. Mais il s'agit d'une relation uniquement statistique.


5. Réaction indignée des fondateurs

Le raisonnement ci-dessus a beau être simple et son développement paraître une conséquence naturelle de toute la construction de la Mécanique Quantique qui le précède, il provoqua une levée de bouclier. Le point limite de l'acceptable a été franchi, le fil rouge rompu. Les fondateurs Planck, Einstein, de Broglie, même Schrödinger réagirent avec indignation. Bohr fut le seul de cette génération à admettre l'interprétation probabiliste et à se ranger du côté des "jeunes", soit Heisenberg, Jordan, Pauli et Dirac.

Qu'est-ce qui a bien pu provoquer un tel retournement? L'équation de Schrödinger ainsi que tous les articles suivants avaient encore été reçus avec enthousiasme. Un pas de plus, et c'était trop.

La raison profonde de ce revirement est que tout à coup la Physique empiétait la Métaphysique. C'est le statut de l'objet le plus insaisissable qui est en cause, le hasard.

En général le hasard est invoqué lors de coïncidences surprenantes, comme explication ultime, sans en être une. On admet que la vraie explication, qui existe toujours, ne nous est pas accessible. C'est trop compliqué, ou demanderait trop de travail, ou résulterait de données qu'on n'a pas. On l'accepte donc volontiers, ou plutôt, on s'y résigne.

Bien plus gênant est le hasard sans explications. Il apparaît pourtant parfois, lorsque notre prochain fait un choix librement, sur lequel nous n'avons pas de prise. Si le libre choix de l'homme existe (ce que conteste Spinoza), on doit admettre qu'un hasard sans explication est possible, causé simplement par le libre arbitre.

Par contre ce que propose Born est d'une toute autre nature. Récapitulons. Les particules sont assimilées à des ondes, qui satisfont une équation, celle de Schrödinger. Les diverses solutions de cette équation repèrent les différents états que peut prendre la particule en question. Ainsi l'onde d'un électron est liée à son état. Elle donne une information sur la position de la particule: elle permet de connaître la probabilité que l'électron soit dans un certain volume de l'espace.

La particule, est-elle vraiment dans ce volume? Nous ne le saurons pas, même si cette probabilité n'est pas nulle. Les réactions chimiques concernent des échanges d'électrons entre molécules, qui se passent dans des éprouvettes. L'électron en question, est-il là? La probabilité ne suffit pas pour savoir si c'est oui ou non. On a affaire ici à un hasard d'une nature toute nouvelle, dit un hasard vrai, qui n'a ni explication, ni cause!

Einstein l'a bien remarqué. Dans une lettre à Born du 4 décembre 1926, il écrivait (traduction libre):

La Mécanique Quantique est certes remarquable. Mais une voix intérieure me dit que ce n'est pas la vraie théorie. Elle dit beaucoup de choses, mais ne nous rapproche pas plus des secrets que l'ancienne. De toute façon, je suis convaincu qu'il ne joue pas aux dés.

Nous ne savons pas qui est ce "il". Pour les croyants, c'est Dieu, pour les autres c'est l'ordre de la Nature...


6. Tentatives d'explications

Une façon de s'en sortir est de trouver une explication à la Mécanique Quantique qui puisse empêcher le recours au hasard vrai.

En 1926 de Broglie proposa de considérer l'onde déduite de l'équation de Schrödinger comme une compagne de la particule servant à la guider. C'est ce qu'on appelle la théorie de l'onde pilote. Ainsi par exemple, dans l'expérience des fentes de Young (voir la lettre Manifestations des ondes quantiques de de Broglie), la particule passe effectivement par un seul trou, mais pas l'onde qui la dirige ensuite.

La théorie des variables cachées, consiste à supposer l'existence de grandeurs physiques encore inconnues, qui interfèrent avec les expériences. Ainsi chaque mesure peut donner des résultats différents si cette grandeur inconnue prend d'autres valeurs. Le hasard vrai n'est plus nécessaire pour produire des réponses aléatoires. L'idée est simple, mais pour arriver à la même valeur moyenne lors d'un grand nombre de tests, elle demande des complications. De plus, faire intervenir ce qu'on n'a jamais vu s'apparente à la science fiction.

On sait que cette théorie intéressait Einstein, bien qu'il n'ait rien publié à ce sujet (à ma connaissance). Cependant David Bohm, qui travaillait avec lui à Princeton, reprit les théories de l'onde pilote et des variables cachées en les intégrant et les améliorant. Il s'agit d'un vaste sujet, appelé théorie de de Broglie – Bohm, publiée en 1952, sur lequel j'espère pouvoir revenir un jour.


7. Le chat de Schrödinger

Schrödinger n'acceptait pas non plus l'interprétation probabiliste de Born. Pourtant celle qu'il avait proposée pour la fonction d'onde d'un électron lui était très proche:

Densité de charge électrique

e est la charge négative de l'électron (voir la lettre précédente Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle). C'est presque la même idée, mais le terme "probabilité" n’apparaît pas.

Schrödinger considérait que le but de la Physique était de chercher à expliquer les phénomènes de la Nature, tous les phénomènes, individuellement. Une explication statistique n'en est pas une.

Or avec le temps, la Mécanique Quantique volait de succès en succès. Toutes ses prédictions se réalisaient. Schrödinger dut bien finir par l'admettre, tout en gardant ses réserves. Dans un article de 1935 il imagine une situation rocambolesque conduisant à se méfier de la Mécanique Quantique.

Le chat de Schrödinger

Il considère un mignon chaton enfermé dans une cage avec une ampoule fragile remplie d'un gaz toxique. Un mécanisme permet à un marteau de briser l'ampoule dès que la désintégration d'un atome radioactif se produit.

Selon la Mécanique Quantique l'atome est décrit par une fonction d'onde, qui ne fournit que des probabilités. Par exemple, à un certain moment, l'atome a 39% de chance d'être intact et 61% de chance d'être désintégré. Le chat est donc en cet instant à 39% vivant et à 61% mort. On ne peut rien savoir de plus tant qu'on n'ouvre pas la cage.

Ce scénario fantaisiste, dramatique pour les amis des chatons, illustre de façon frappante l'ambiguïté de la Mécanique Quantique. Les événements individuels n'ont plus d'importance, seules les données statistiques sont pertinentes.


8. Le triomphe de la Mécanique Quantique

La Mécanique Quantique n'attendait que l'interprétation de Born pour s'imposer. Enfin elle tenait la relation entre théorie et expérience! Désormais triomphante elle parvint à sa forme mature grâce à son premier traité, Les principes de la mécanique quantique, de Paul Dirac (1930), puis sa version mathématiquement impeccable, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, de von Neumann (1932), et enfin son analyse philosophique avec Physique atomique et connaissance humaine, recueil d'articles et de conférences de Niels Bohr (dès 1933).

Les fondateurs durent de résigner, sans s'avouer vaincus. Etait-ce un conflit de générations? Il est amusant de comparer les âges de nos héros. En 1926 Planck avait 68 ans, Einstein 47 ans, Born 44, Bohr 41, Schrödinger 39, de Broglie 34, Pauli 26, Heisenberg 25, Dirac et Jordan 24. On constate que Born et Bohr ont trahi la génération des anciens, à laquelle s'était pourtant rallié le jeune duc de Broglie.

En 1954, soit 28 ans plus tard, les passions s'étant enfin apaisées (mais pas éteintes), Max Born reçut le prix Nobel de physique pour son interprétation probabiliste de la fonction d'onde.


9. Références

Vie et pensées de Schrödinger:
10Schrödinger, life and thought, Walter Moore, Cambridge University Press, 1992
10Présentation complète de la vie et des travaux scientifiques de Schödinger en plus de 500
10pages (en anglais)

Histoire scientifique détaillée:
10The creation of wave mechanics, 1925-1926, Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg, dans
10The historical development of quantum theory, Volume 5, Partie 2, Springer, Library of
10Congress Cataloging in Publication Data, 1987, 615 pages (en anglais)

Max Born, discours de réception du prix Nobel:
10The statistical interpretation of quantum mechanics,
1011 décembre 1954, accessible sur Internet (en anglais)

Le chat de Schrödinger, l'article original:
10Physique quantique et représentation du monde, Erwin Schrödinger, Editions du Seuil,
101992. Chapitre 5 de l'article La situation actuelle en mécanique quantique.


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