Lettre de février 2017 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal
(améliorée en avril 2017 selon des suggestions de Pierre Bader)

Théorie de la Mécanique Quantique

10Les travaux de de Broglie, Schrödinger et Born ont généré une théorie puissante.

Résumons où nous en sommes, vers la fin de 1926. On peut énoncer les trois étapes décisives de la Mécanique Quantique Ondulatoire comme suit :
10 - à l'échelle atomique les particules ont un comportement ondulatoire (Louis de Broglie),
10 - les ondes décrivant ce comportement satisfont une équation; dans le cas des atomes,
1000celle-ci donne les niveaux d'énergie observés; de plus une formule fournit l'évolution
1000de ces ondes au cours du temps (Erwin Schrödinger),
10 - l'onde associée à une particule permet de déterminer la probabilité qu'elle se trouve dans
1000un domaine donné (Max Born).

Paul Dirac, Wikipedia

Partant de ces découvertes, trois autres auteurs ont réussi à construire une théorie prodigieuse, cohérente au niveau physique (Paul Dirac, 1930, photo Wikipedia), mathématique (John von Neumann, 1932) et philosophique (Niels Bohr dès 1933). Son extraordinaire succès au cours des âges est impressionnant : 87 ans plus tard, elle est encore universellement utilisée.

Cette merveilleuse théorie, c'est la Mécanique Quantique. C'est la théorie physique qui remplace la Mécanique Classique de Newton pour traiter les phénomènes à l'échelle atomique. Elle n'a qu'une limitation: elle ignore la Relativité. Elle n'est donc valable que si les vitesses sont petites par rapport à celle de la lumière, et si les énergies d'interaction sont très loin des énergies de repos (E=mc2).

Son plus grand domaine d'application est la Chimie. En effet la Mécanique Quantique permet de décrire, de comprendre, de calculer et de prévoir les réactions chimiques. C'est donc la base de l’ingénierie chimique, indispensable à la Biologie, à la Pharmacie et partant, à la Médecine. Un autre vaste domaine d'application concerne les propriétés des corps solides, des métaux et leurs alliages. On lui doit aussi la découverte du transistor, base des ordinateurs, et du rayon laser.

La compréhension de l'infiniment petit permet de résoudre un nombre infiniment grand de problèmes à notre échelle.

Rappelons que de grands physiciens comme Planck, Einstein, de Broglie et Schrödinger, soit tous les auteurs à l'origine des idées quantiques sauf Bohr, se sont opposés à cette théorie, en la considérant comme non achevée. Ils n'admettaient pas son recours au hasard vrai (voir lettre précédente La rupture : l'interprétation probabiliste de la Mécanique Quantique). En fait il s'agit là de questions d'interprétation. Le scientifique qui cherche de nouvelles réactions chimiques ou de surprenants alliages n'en a cure.

Nous n'avons cité que quelques noms à l'origine de la Mécanique Quantique. En fait ces personnes n'étaient pas seules dans leur laboratoire. Elles étaient entourées de collègues et d'étudiants, et les conversations allaient bon train. Dans chaque université des groupes se formaient, s'informaient et se passionnaient pour les idées nouvelles. Un nombre considérable de lettres et d'articles circulaient sans cesse. Un livre d'histoire déjà cité (The historical development of quantum theory, voir encore la lettre précédente) mentionne plus de 350 auteurs de publications ayant participé, de près ou de loin, à l'élaboration de la Mécanique Quantique !

Depuis les années 1930 la Mécanique Quantique est enseignée dans toutes les universités. Son exposé gagne régulièrement en clarté et simplicité. Mais les idées fondamentales n'ont pas subi de vrais changements.


1. Le programme de la Mécanique Quantique

La Mécanique Quantique est une théorie, qui se présente sous la forme d'un programme. Ce dernier tente de suivre celui de la Mécanique Classique : pour un système physique précis, on définit d'abord ce qu'on entend par son état à un moment donné, puis on indique comment déterminer les grandeurs physiques pertinentes (comme l'énergie, l'impulsion, etc...) pour chacun de ces états. Enfin on décrit comment obtenir l'évolution des états au cours du temps.

Comme la notion d'état est assez abstraite en Mécanique Quantique il faut ajouter une prescription concernant son sens physique.

Nous allons présenter ce programme en parallèle avec le cas classique, pour mieux cerner les ressemblances et les différences.


1.0 Le choix du système. Avant tout il faut se limiter à un système physique bien défini. Si le programme se déroule de la même façon pour tous les systèmes, il faut en délimiter un pour pouvoir l'énoncer avec précision.

Pour fixer les idées, on choisira ici comme système un ensemble de N particules de masses m1, ..., mN, soumises entre elles à des forces émanant d'un potentiel. Pour la physique classique on peut penser à des planètes soumises à la gravitation et en physique quantique à des particules élémentaires interagissant par l'électromagnétisme. Cependant, pour simplifier, nous supposerons ces particules ponctuelles pour ne pas avoir à faire intervenir leur rotation sur elle-même.


1.1 L'ensemble des états. La notion d'état, centrale en physique, est pourtant difficile à définir de façon générale. Disons, en restant assez vague pour couvrir tous les cas, que l'état en un certain temps est la donnée des grandeurs physiques à ce moment qui permettent de déterminer l'évolution du système dans le futur.

En Mécanique Classique, l'état du système en un temps t est donné par la connaissance des positions 1, ..., N et des vitesses 1, ..., N des N particules au temps t.

En Mécanique Quantique la situation est plus délicate. L'état du système en un temps t repose sur une fonction (la fonction d'onde) Ψ(1, ...,N; t) normée, c'est-à-dire satisfaisant
Norme dela fonction d'onde
cette fonction permettant de calculer les grandeurs physiques du système au temps t grâce à un processus complexe donné ci-après.

Comme on le constate, la différence est considérable. En Mécanique Classique, les états nous renseignent directement sur le système. Dans le cas quantique, c'est le brouillard !

Etats classique et quantique

Comment en sommes-nous venu là ? Rappelons ce que nous avions obtenu pour le traitement quantique de l'atome d'hydrogène. L'équation de Schrödinger admet comme solution des fonctions, et pour chacune d'elles, une valeur de l'énergie. Or il se trouve que ces énergies sont en accord avec le spectre lumineux émis par l'atome. On retrouve donc les résultats des expériences. Comme les fonctions solution déterminent les énergies possibles du système, il est naturel de les considérer comme définissant ses états.


1.2 Les grandeurs physiques. Les états doivent permettre de déterminer les grandeurs physiques mesurables, qu'on appelle aussi les observables. Parmi celles-ci, la plus importante est l'énergie.

En Mécanique Classique l'énergie est une fonction des positions et des vitesses. C'est donc directement une fonction des états.

En mécanique Quantique la situation est moins transparente. Reprenons l'équation de Schrödinger indépendante du temps (la dépendance temporelle sera réintroduite au paragraphe suivant) :

L'équation de Schrödinger

H est l’Hamiltonien (c'est-à-dire l'énergie écrite en terme des impulsions et des positions), Ψ une fonction propre et E la valeur propre correspondante. Dans cette équation, c'est le nombre E qui est susceptible d'être mesuré dans une expérience. Pour l'obtenir par la théorie, on doit donc faire agir l'Hamiltonien sur la fonction d'onde.

On en déduit qu'en Mécanique Quantique, les grandeurs physiques deviennent des objets qui agissent sur les fonctions d'onde. Dans le jargon mathématique, on dit que les observables sont des opérateurs agissant sur les états.

Rappelons que la première étape de Heisenberg avait été de considérer les grandeurs physiques comme des matrices, soit des opérateurs sur un espace de vecteurs. On retrouve ici la même idée, ce qui n'est pas surprenant puisqu'il s'agit d'une théorie équivalente (voir la lettre Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle).

En reprenant les arguments ayant conduit à l'équation (2) (voir la lettre L'équation de Schrödinger), on obtient des expressions pour d'autres grandeurs physiques. Ainsi pour l'impulsion j de la je particule (j entre 1 et N) on trouve :

L'opérateur d'impulsion

où ∇j (nabla) est un opérateur différentiel, mesurant la croissance de la fonction dans la variable j. De même manière, la grandeur position devient un opérateur, noté traditionnellement j, qui s'écrit

L'opérateur de position

La conséquence la plus surprenante de ces définitions est que ces grandeurs physiques ne commutent pas, c'est-à-dire, QP n'est pas égal à PQ. Plus précisément, de (3) et (4) il suit :

Non commutation de P et Q

Qj,i est la ie composante du vecteur j, i entre 1 et 3, et de même pour Pj,i. On retrouve donc la célèbre formule de non-commutation des observables position et impulsion, déjà obtenue dans la Mécanique Matricielle (formule (2) de la lettre Le principe d'incertitude de Heisenberg).

Mon lecteur est très certainement déconcerté par cette représentation des grandeurs physiques. Il s'attendait naturellement à des résultats numériques, qu'on puisse comparer aux expériences. Or (3) et (4) ne sont que des formules abstraites ! Notons pourtant que (2) fournit bien des nombres pour E, mais c'est un cas particulier, où Ψ est un état propre de l'Hamiltonien. Pour le cas général, il faut passer au paragraphe 2 pour avoir la relation entre la théorie et les expériences.


1.3 L'évolution temporelle. En Mécanique Classique, l'évolution temporelle s'obtient soit par les équations de Newton, en calculant les accélérations en terme des forces, soit en utilisant la constance de l'énergie. La deuxième méthode est plus courante, car elle conduit à des équations plus maniables. Ce qu'on cherche, c'est un ensemble de fonctions du temps, 1(t), ..., N(t) , dont on déduit les vitesses 1(t), ..., N(t) , qui satisfont au temps t=0 aux données initiales 1, ..., N , 1, ..., N , et qui conduisent à une énergie constante au cours du temps.

En Mécanique Quantique l'évolution temporelle a été introduite par Schrödinger (c'est la formule (12) de la lettre Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle). Cette formule a été trouvée en partant des ondes stationnaires, dont l'évolution est bien connue, et en généralisant à toutes les ondes en remplaçant l'énergie par l'Hamiltonien, pour donner ce qui est parfois appelé l'équation de Schrödinger :

Evolution des fonctions d'onde

H est l'Hamiltonien et t le temps. Pour mieux appréhender cette formule, vérifions qu'elle donne ce qu'on en attend dans le cas particulier où Ψ(1, ...,N; 0) satisfait l'équation aux valeurs propres (2). L'action de H sur Ψ n'est alors que la multiplication par le nombre E. La formule (6) se ramène ainsi à multiplier la fonction Ψ(1, ...,N; 0) par un facteur oscillant, dont la période T est donnée par la formule T = h/E, soit la formule dont Planck était parti en 1900. On retrouve donc l'évolution d'une onde stationnaire, soit la vibration de Ψ entre toutes ses surfaces nodales, avec la même phase et la même période T.

Notons encore que l'évolution (6) respecte la normalisation (1) et les formules des grandeurs physiques (2) à (5) pour toute valeur du temps t.


2. Sens physique de la fonction d'onde.

Jusqu'ici, la Mécanique Quantique est une belle théorie mathématique. Son unique intérêt physique tient dans le calcul des énergies des atomes, grâce à l'équation de Schrödinger (2). Notons que c'est déjà un grand succès, totalement inaccessible par la Physique Classique, et qui permet même d'entrevoir une explication du tableau de Mendeleïev. Mais son point faible est l'usage de fonctions d'onde Ψ(1, ...,N; t) , nécessaires pour écrire l'équation de Schrödinger, mais dont le sens physique échappe. Il en résulte une théorie dont le lien avec le monde concret des expériences est boiteux.

C'est le postulat de Born qui achève le programme en y incluant une relation entre les objets théoriques et le monde des mesures expérimentales.

Reprenant les arguments de Born (voir la lettre précédente La rupture : l'interprétation probabiliste de la Mécanique Quantique) en se limitant aux systèmes à une particule pour simplifier l'écriture (la généralisation ne pose pas de vrai problème).

Soit V une partie de l'espace. Introduisons un opérateur particulier KV qui coupe la fonction d'onde au-dehors de V:

Définition de l'opérateur KV

L'image suivante suggère l'action de KV :

Image de l'opérateur KV

KV est l'opérateur qui restreint la fonction d'onde à un volume donné, conformément à la technique utilisé par Born dans son article, pour limiter la fonction à un cône. De son postulat il résulte :

Probabilité de présence

L'objet (Ψ |KV Ψ) devient alors une grandeur susceptible d'être mesurée.

Rappel : Nous avons déjà introduit dans des lettres précédentes la notation (f |g) pour désigner l'intégrale du produit des fonctions et g, où désigne le complexe conjugué de f.

De (8) on peut déduire la position de la particule aussi finement que l'on veut, en variant V, mais seulement dans un sens statistique. On peut par exemple en déduire la position moyenne :

Position moyenne

et de même, en généralisant aux autres opérateurs

Impulsion et
               énergie moyenne

etc... D'où le postulat de la Mécanique Quantique reliant d'une part les états et les opérateurs représentant les grandeurs physiques, avec d'autre part le monde des valeurs expérimentales :

Moyenne d'une grandeur A

Aux valeurs moyennes il est possible d'adjoindre des estimations de la dispersion autour de ces valeurs, fournies par la théorie, comme l'écart-type décrit dans la lettre Le principe d'incertitude de Heisenberg. Celui-ci s'écrit :

Ecart-type de la grandeur A

Notons que le sens physique de la fonction d'onde (8) a une importance capitale en Chimie. En effet il permet d'estimer la forme extérieure des atomes et des molécules, ainsi que la répartition de la charge électrique. Les réactions chimiques deviennent alors des assemblages entre objets qui s'emboîtent, sorte d'immense jeu de Lego aux pièces microscopiques !


3. Remarque sur la puissance de ce programme.

La Mécanique Quantique, donnée par ce programme, s'avère une théorie puissante, cohérente tant sur le plan physique que mathématique. Cependant elle ne manque pas de surprendre. A la première lecture, un tel programme a de quoi déconcerter, et toute personne sensée réagit naturellement avec scepticisme. Pourquoi tant de bizarreries, de complications ? Comme toute réponse, le physicien ne peut qu'essayer d'appliquer ce programme à des cas concrets et vérifier ses prédictions.

En Physique, c'est l'expérience qui a le dernier mot. La Mécanique Quantique a donc été testée de toutes les manières, dans tous les systèmes. A l'échelle atomique, en excluant les effets relativistes, elle n'a jamais été mise en défaut. Elle a non seulement toujours été vérifiée, mais encore prédit de nouveaux phénomènes, comme le transistor, qui a permis l'essor de l'informatique, et le rayon laser, aux innombrables applications. Elle approche maintenant ses 90 ans, et son programme n'a pas encore pris une ride ! Que désirer de mieux ?


4. Références

Exposé précis du programme de la Mécanique Quantique:
10Mécanique quantique, C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Edition Hermann, 2007
10Tome 1, Chapitre III, Les postulats de la mécanique quantique


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