Lettre de novembre 2017 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal

Introduction au calcul différentiel et intégral

10Aperçu d'une branche des mathématiques largement utilisée dans les lettres précédentes.


Certains lecteurs ont été gênés par l'usage croissant de formules et d'expressions mathématiques dans mes lettres. Et ils ont bien raison. Le recours à la technicité devrait être évité au maximum dans un site qui prétend décrire et expliquer au lieu d'enseigner. A partir de 2014 mes lettres contiennent des expressions algébriques, parfois lourdes (Max Planck et le problème du corps noir), une introduction au calcul des vecteurs (La physique du spin) et même les nombres imaginaires et complexes (Le Principe d'Incertitude de Heisenberg). Mais c'est surtout depuis juillet 2016, avec L'équation de Schrödinger, que le niveau dérape, avec l'usage de notions comme "variation de fonctions" , "intégrale" et même "équation différentielle", terminologie empruntée au calcul différentiel et intégral.

Comme la physique a l'ambition d'établir des théories permettant de prédire par le calcul des résultats expérimentaux, l'usage de mathématiques avancées est incontournable. Mais il est possible d'expliquer en termes simples de quoi il retourne, du moins, c'est ce que je vais essayer de faire.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Le calcul différentiel et intégral est l’œuvre de deux génies, qui ont travaillé indépendamment et presque en même temps. Gottfried Wilhelm Leibniz, image de gauche (né à Leipzig en 1646 et mort à Hanovre en 1716) publia en 1684 et 1686 deux traités sur les variations des fonctions (différentielles) et sur les intégrales. Les notations qu'il a introduites sont encore utilisées en mathématique aujourd'hui. Isaac Newton, image de droite (né à Woolsthorpe en 1642 et mort à Londres en 1727) publie en 1687 son œuvre majeure
Isaac Newton Philosophiae naturalis principia mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle). Il y expose le programme de la Mécanique Classique et sa théorie de la Gravitation Universelle. Pour cela il développe un nouvel outil, le calcul infinitésimal, qui est une autre appellation du calcul différentiel et intégral. Une telle coïncidence a fait naître des suspicions de plagiat. Ce qui est peu vraisemblable car ces travaux visent des buts très différents. Leibniz s'occupe de questions mathématiques, alors que Newton s'intéresse à résoudre les équations de la gravitation.


1. Variation des fonctions

La Nature nous offre en abondance des spectacles enchanteurs, mais hélas éphémères. Le changement perpétuel semble être la règle générale ! Le physicien, cet amoureux de la Nature, s'il veut l'approcher pour mieux la comprendre, est contraint de s'y intéresser et d'étudier les mouvements.

On désigne par fonction une grandeur qui varie suivant un paramètre. Par exemple la position d'un objet au cours du temps, ou la température dépendant de l'altitude. Dans le cas des mouvements le paramètre naturel est le temps.

La grandeur qui mesure l'importance d'un changement est la vitesse. Elle est définie par le trajet parcouru rapporté à sa durée. Par exemple un objet se déplaçant de 8 mètres en 2 secondes génère une vitesse de 8 m / 2 s = 4 m/s.

Or il s'agit là de la notion de vitesse moyenne. Pour suivre le mouvement des planètes Newton avait besoin d'une mesure beaucoup plus fine. Il introduisit alors la notion de vitesse instantanée. C'est le résultat d'une limite, pour des durées et des trajets toujours plus petits.

La vitesse instantanée est donc celle d'un trajet nul en un instant précis, soit 0 divisé par 0, ce qui n'a pas de sens mathématique. On contourne la difficulté en effectuant un calcul de limite, c'est-à-dire en déterminant la vitesse moyenne pour des durées toujours plus petites. On peut ainsi obtenir un résultat sensé.

Un dessin illustre mieux qu'un texte cette opération. Prenons un objet se déplaçant sur un certain chemin. On peut reporter sur un graphique la positon sur le chemin en chaque instant.

Vitesses moyenne et instantannée

Dans l'image de gauche la vitesse moyenne est donnée par le rapport entre la distance parcourue
B – A et sa durée TB – TA , ce qui qui donne la pente de la droite rouge, ce qu'on appelle en trigonométrie la tangente de l'angle α du dessin.

Dans le dessin de droite la vitesse instantanée au point A est obtenue en prenant des temps toujours plus proches de TA et en déterminant pour chacun d'eux la vitesse moyenne. Or on voit sur l'image que les lignes rouges atteignent à la limite une droite qui touche la courbe verte en un seul point, ce qu'on appelle en géométrie la tangente à la courbe en A. La vitesse instantanée en A est alors la pente de cette droite, soit la tangente de l'angle α ainsi obtenu.

Remarque amusante de vocabulaire : on utilise le mot "tangente" dans deux sens différents, d'abord la tangente à la courbe (géométrie), puis la tangente de l'angle obtenu (trigonométrie).

Cette notion de vitesse instantanée, que Newton a du établir, nous est aujourd'hui très familière. C'est ce que l'aiguille du compteur de vitesse d'une voiture indique en chaque instant !

Remarquons que la vitesse instantanée est une fonction du temps, car il n'y en a qu'une pour chaque temps (contrairement à la vitesse moyenne, qui dépend de deux temps). On peut donc la tracer sur le graphique des positions.

Moment cinétique

La position (en vert) et la vitesse instantanée (en rouge) sont reportées en même temps sur le même graphique (avec des unités différentes). Avant T1 la pente verte est d'abord constante, et la vitesse l'est aussi. Puis elles décroissent. En TA la vitesse est nulle, comme la pente. Entre T1 et T2 l'objet recule, la pente et la vitesse sont négatives. Elles sont de nouveau nulles en T2 puis redeviennent positives, l'objet repartant dans la direction initiale.

Vocabulaire : en mathématique la fonction vitesse est appelée la dérivée, ou parfois la différentielle de la fonction initiale. L'opération elle-même est dite la dérivation, ou la différentiation. Dans les lettres précédentes j'ai simplement parlé de variation des fonctions.

La détermination de la dérivée d'une fonction quelconque se fait en mesurant la pente en chaque point. Il faut pour cela que la fonction soit "convenable", c'est-à-dire qu'elle n'a pas de saut ni d'angle, auquel cas la dérivée ne serait pas la même des deux côtés. Dans le cas où la fonction est donnée par une formule analytique, sa dérivée s'obtient par un calcul standard.

Newton ne pouvait pas se contenter de la notion de vitesse. Il avait besoin de connaître les variations de la vitesse, ce qu'on appelle l'accélération. Il s'agit de déterminer la pente de la fonction vitesse instantanée. Ce qu'on désigne en mathématique par la dérivée de la dérivée, ou dérivée seconde.


2. Intégrales

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Il s'agit, partant de la courbe rouge de l'image ci-dessus, de retrouver la courbe verte qui l'a engendrée.

Prenons l'exemple d'une situation concrète. Supposons qu'on ait filmé le cadran de la vitesse d'une voiture. On peut alors reporter la vitesse en fonction du temps sur un graphique. Peut-on en déduire la position de la voiture en chaque instant ?

Un premier problème se pose : il manque une donnée. De la connaissance de la vitesse on ne pourra déduire que les intervalles parcourus, on ne disposera pas de la position de départ.

Admettons alors que nous connaissons par ailleurs la position de départ. Pour aborder le problème, on commence par un cas simple dont la solution est évidente.

Intégrale évidente

Considérons le cas où la vitesse est constante V. Dans ce cas, après un temps T, le trajet parcouru est simplement le produit de la vitesse par le temps, soit V × T. Exemple : si une voiture fait constamment du 60 km/h, après deux heures elle a parcouru 60 km/h × 2 heures = 120 km.

Le graphe de la fonction vitesse est dans ce cas une droite horizontale. La distance parcourue est géométriquement la surface sous cette droite et limitée par le temps T.

Intégrale approchée

Intégrale limite

Dans le cas général la vitesse varie sans cesse. On tente d'approcher le résultat en décomposant la durée en très petits intervalles. Pour chacun d'eux on calcule la distance parcourue, puis on additionne toutes ces contributions. En utilisant une décomposition toujours plus fine, on constate qu'à la limite on obtient la surface sous la courbe limitée par T.

Intégrale avec signe

Sur ces dessins la vitesse est toujours positive. Si elle devient négative, alors la voiture recule et la distance parcourue diminue. L'intégrale doit en tenir compte. Ainsi les surfaces sous l'axe des temps doivent être comptées négativement, comme dans l'image suivante, prise de la lettre Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle. Où il est indiqué que, dans le dessin, l'intégrale de la fonction est la surface orange moins la surface bleue.

Le calcul de l'intégrale d'une fonction se fait en mesurant la surface par voie numérique (par ordinateur). Dans le cas où la fonction vitesse est donnée par une formule analytique, il y a des techniques pour déterminer l'intégrale, mais c'est beaucoup plus compliqué que le calcul de la dérivée. Certaines fonctions simples n'admettent pas d'intégrale analytique ! C'est le cas de la "fonction cloche de Gauss", très appréciée des statisticiens.


3. Equations différentielles

La Mécanique Classique de Newton conduisait à des équations d'un type complètement nouveau, mélangeant les fonctions position, vitesse et accélération.

Mathématiquement on appelle équation différentielle une relation entre une fonction et ses dérivées.

Comme on le constate sur l’image position – vitesse ci-dessus, les deux courbes verte (la fonction) et rouge (sa dérivée) sont très différentes. Une relation entre une fonction et ses dérivées est loin d'être une évidence. De nombreuses équations différentielles n'ont d'ailleurs pas de solutions !

Considérons, pour mieux cerner la difficulté, une équation différentielle très simple, mais déjà non banale : l'égalité entre une fonction et sa dérivée. En formule, cela s'écrit
100f(x) = f '(x) 1000000000000000000000000000000000000000 (1)
f(x) est la fonction cherchée et f '(x) sa dérivée.

Dérivée visible graphiquement

Cherchons par voie graphique une telle fonction. D'abord, constatons qu'on peut visualiser la dérivée, soit la pente, d'une fonction en un point sur un graphique, en dessinant le triangle (voir l'image ci-contre) formé de la tangente à la courbe (en rouge) et de base 1. Ainsi la hauteur du triangle vaut la dérivée elle-même en ce point (puisque par définition, la pente est le rapport entre la hauteur et la base du triangle).


fonction et sa dérivée

Cela nous permet de chercher graphiquement une solution à l'équation (1). Prenons au point x une valeur quelconque y de la fonction cherchée. En reportant à la place de la dérivée la fonction elle-même, soit y en vertu de l'égalité (1), on trouve la tangente (en rouge) à la courbe cherchée, et donc un petit bout de celle-ci (en vert). On peut donc prendre un point infiniment proche sur la courbe et répéter l'opération. Et ainsi de suite. On obtient alors une courbe appelée exponentielle.


Diverses exponentielles

En choisissant une autre valeur y on trouve une autre exponentielle, aussi solution de (1). Ainsi notre équation différentielle admet une infinité de solutions, chacune définie par le choix de y.

L’ambiguïté constatée dans le calcul de l'intégrale revient ici à la liberté du choix de y.

Le problème qu'a résolu Newton était d'une toute autre difficulté. Le mouvement des planètes a lieu dans l'espace, d'où une multiplication des variables. Il fallait trouver, à partir d'une position et d'une vitesse initiales, le mouvement résultant de trois équations différentielles (une pour chaque direction de l'espace). La force imposée par la gravitation est dirigée vers le soleil et décroît Force sur une planète avec la distance. Or selon la Mécanique de Newton, la force définit l'accélération de la planète : on obtient donc trois équations différentielles couplant les dérivées secondes et la force de gravitation.

La résolution de ce problème fut l'une des plus grandes étapes de l'histoire de l'humanité. Les mouvements des planètes, qui semblaient aléatoires dans le ciel, obéissent donc à des équations précises ! L'intervention divine n'était plus nécessaire pour expliquer ces étranges comportements !


4. Le calcul différentiel et intégral et la Mécanique Quantique

La Mécanique Quantique ne peut pas se passer du calcul différentiel et intégral. Mes lettres précédentes l'ont suffisamment montré !

Rappelons les postulats de la Mécanique Quantique. L'état du système en question est représenté, à un instant donné, par une fonction de l'espace, la fonction d'onde. Les grandeurs physiques, ou observables, correspondent à des opérations sur ces fonctions. Par exemple, l'impulsion (dont on déduit la vitesse) est un opérateur de dérivation par rapport aux variables d'espace (et non du temps!), à une constante près.

Comment comprendre que la vitesse fait intervenir la dérivée par rapport aux variables d'espace, alors qu'en Mécanique Classique c'est la dérivée de la position par rapport au temps ? En fait, les ondes évoluent dans l'espace en se répétant à chaque longueur d'onde λ. Or la formule d'Einstein-Planck P×λ=h relie l'impulsion P à la longueur d'onde, h étant la constante de Planck.

Il en résulte que l'opérateur de dérivation spatiale intervient naturellement dans la formule de l'impulsion, et donc dans toutes les formules de la dynamique. En particulier elle intervient dans l'Hamiltonien, qui gère l'évolution temporelle des états

D'autre part, l'Hamiltonien figure aussi dans l'équation de Schrödinger, dont on déduit la structure des atomes et des molécules. C'est une équation différentielle, puisqu'elle relie la fonction d'onde à ses dérivées. Une telle relation n'est jamais banale, car elle connecte des fonctions en général très différentes, comme nous l'avons vu avec les fonctions position (en vert) et vitesse (en rouge).

Enfin, la Mécanique Quantique indique comment obtenir, à partir des fonctions d'onde et des opérateurs, des résultats numériques qui puissent être comparés aux valeurs moyennes fournies par les expériences. Cette procédure se base sur l'interprétation de Born, contestée à ses début, puis généralement admise, malgré quelques réserves résiduelles (voir la lettre La rupture: l'interprétation probabiliste de la Mécanique Quantique).

La procédure pour obtenir des valeurs numériques se base sur le calcul d'intégrales portant sur la fonction d'onde. Rappelons que l'interprétation de Born permet d'estimer la probabilité de trouver la particule dans un certain volume de l'espace via une intégrale. La particule devant se trouver quelque part, l'intégrale sur l'espace entier doit valoir 1. C'est la condition de normalisation des fonctions d'onde, souvent évoquée, énoncée pour la première fois par la formule (1) de la lettre Equivalence des Mécaniques Quantiques Ondulatoire et Matricielle.

En résumé, dérivation, intégration et équations différentielles sont les trois piliers mathématiques de la Mécanique Quantique. Sans la maîtrise de ces trois outils, il est impossible d'obtenir par soi-même les résultats numériques prescrits par cette étrange théorie. Par contre il est possible d'engager une discussion sur les idées qui l'ont générée, en présentant de façon imagée les outils mathématiques sur lesquels elle s'appuie. C'est ce que j'essaye de faire ici.


5. Références

10Gottfried Wilhelm Leibniz, émission cogito, documentaire de 13 minutes (sur Internet)

10Isaac Newton, Wikipedia (sur Internet)

10Promenades dans le Monde Quantique, Etienne Frochaux, chapitres 7 et 10


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