Lettre de septembre 2018 1000000000000000000000000000000 Retour à Journal

L'inégalité de Bell et le hasard en Mécanique Quantique

10L’inégalité trouvée par John Bell permet de tester le rôle du hasard en Mécanique Quantique.


Après une longue pause estivale, il est nécessaire de faire un rappel des résultats auxquels nous étions arrivés.

La Mécanique Quantique, théorie brillante, mathématiquement limpide, extrêmement efficace dans ses applications, source d’innombrables révolutions technologiques, jamais mise en défaut expérimentalement (dans son domaine de validité, soit les phénomènes sous-microscopiques et non relativistes), peine cependant à expliquer ses méthodes alambiquées. Elle contient des énoncés surprenants, voire choquants, qui déconcertent l’esprit le plus ouvert et heurtent de front le bon sens.

Née autour des années 1930 d’une meute de jeunes loups (Werner Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli, Paul Dirac, John von Neumann), encouragés par un seul ancien (Nils Bohr), elle se voit aussitôt attaquée par l’ensemble des ses pères fondateurs (Bohr excepté), dont Albert Einstein prendra la tête.

Pourquoi une telle levée de boucliers ? Rappelons brièvement les faits.

La Mécanique Quantique associe à chaque particule une onde, qui a pour but de prendre en charge les curieux phénomènes quantiques. C’est le rapport entre cette onde et les résultats des expériences qui pose un problème. Cette théorie permet de calculer les divers résultats susceptibles d’être trouvés, et pour chacun d’eux, donne la probabilité de l’obtenir.

La Mécanique Quantique ne prédit pas quelle valeur adviendra, parmi celles proposées. La fonction d’onde ne permet pas de le savoir, elle se contente de donner des probabilités. Alors, dans une expérience concrète, qui choisit quelle valeur sera obtenue, se demande Einstein ?

Remarquons que cette fronde s’en prend au formalisme de la Mécanique Quantique, et non à ses résultats, qui sont inattaquables (jusqu’à présent). Elle ne lui cherche pas des fautes, mais des explications. Elle imagine, par exemple, qu’il lui manque un mécanisme physique qui détermine le choix des résultats et congédie le hasard.

Einstein envisagea plusieurs cas où un conflit surviendrait entre les prédictions de la Mécanique Quantique et ce qu’il attend de la Physique. Sa méthode consistait à imaginer des expériences de pensée, ou Gedankenexperiment, dans lesquelles on ne se soucie pas des difficultés de réalisation. Il publia en 1935, avec deux collègues, celle qui mène à une difficulté connue sous le nom d'argument EPR (plus de détails dans la lettre précédente L'offensive d'Einstein, l'argument EPR et l'intrication).

L’argument EPR a été repris et clarifié par David Bohm en 1952, et c’est ce dernier qu’on va suivre. Il consiste à étudier un objet sans spin se désintégrant en deux particules de spin ½.

L’intérêt de se restreindre aux spins, et de négliger les autres variables (du mouvement par exemple), est que le formalisme de la Mécanique Quantique se simplifie considérablement. Les fonctions d’onde sont remplacées par des vecteurs de longueur unité, dans un espace à deux dimensions (pour le cas que nous allons considérer). Ce formalisme simplifié à déjà été présenté dans la lettre La physique du spin, et j’en ferai un bref rappel.


1. L’argument EPR amélioré par Bohm

L’argument d’Einstein, Podolsky, Rosen, ou EPR, amélioré par David Bohm, consiste en une expérience de pensée. On imagine un objet au repos sans moment cinétique ni spin qui se désintègre en deux particules de spin ½ (en unité de h/2π).

Les deux particules partent dans des directions opposées. La conservation du moment cinétique impose que leurs spins sont aussi opposés.

Faisons encore une hypothèse simplificatrice (puisqu’il s’agit d’une expérience de pensée). On admettra que les spins sont perpendiculaires à la direction de propagation des particules.

On introduit un repère orthonormé x,y,z, où x est la direction de propagation de la première particule et z la verticale. Selon notre hypothèse les spins sont contenus dans le plan y,z.

On installe des appareils de Stern-Gerlach à chaque bout du montage. Pour varier l’expérience on tourne les appareils dans le plan perpendiculaire à l’axe x. On note α et β les angles de rotation par rapport à la verticale z.

Expérience EPR

La Mécanique Quantique enseigne qu’on ne trouve que 2 valeurs possibles à chaque mesure, qu’on note maintenant +1 et –1 (en unité de h/4π)*. C’est déjà très surprenant. Mais il y a plus intriguant encore. Dans le cas où les orientations des Stern-Gerlach sont les mêmes, α = β, si la première mesure a donné +1, alors on est certain que la 2e donnera –1. Ceci pour que le spin total mesuré soit nul. Donc, quelque soit la direction originelle du 1er spin, si lors de la mesure le hasard choisit une valeur, alors l’autre spin doit avoir la valeur opposée de façon certaine. Il a donc dû tourner pour s’orienter de lui-même, instantanément ! Et cela, sans avoir été informé du résultat de la 1re mesure !

On dit que les deux spins sont alors parfaitement corrélés. On comprend aisément qu’Einstein avait de la peine à admettre cette entorse à la transparence de la réalité !

* Remarque technique : pour alléger les expressions, on a changé d’unité pour les spins. Leur mesure vaut maintenant +1 ou –1, en unité de h/4π (et non plus h/2π).


2. Posons le problème en Mécanique Quantique

En Mécanique Quantique on raisonne sur les états du système. Pour une particule en mouvement, son état est représenté par une fonction, la fameuse fonction d’onde. Mais si on s’intéresse seulement au spin d’une particule, son état est représenté par un vecteur de longueur unité.

Le sens physique de ces vecteurs est donné par leur relation avec les résultats des expériences : ils permettent de déterminer la probabilité d’obtenir +1 ou –1. Cette probabilité est donnée par le carré de la projection du vecteur d’état sur des vecteurs de référence (soit les états propres, c’est-à-dire ceux qui donneraient +1 ou –1 de façon certaine).

Comme corollaire à cette définition, les états décrivant des spins opposés sont perpendiculaires.

2.1 Description quantique d’un spin ½. Traçons deux cercles qu’il ne faut pas confondre. Espace des spins Le premier décrit le spin dans l’espace y,z (selon notre hypothèse) et l’orientation α du Stern-Gerlach. L’angle entre eux est noté φ. Le deuxième cercle représente les états quantiques de spin. Les états propres sont définis par l'orientation de l'appareil (car si le spin avait la même direction α, la mesure serait +1 de façon certaine). Comme deux spins opposés (dans le 1er cercle) sont des états perpendiculaires (dans le second), l’angle entre l’état du spin et l’état propre +1 vaut φ/2.

Espace des états de spin


Les projections de l’état du spin sur les états propres
sont (voir l'image) :
10sur l’état propre +1 : Proj+ = cos(φ/2) et
10sur l’état propre –1 : Proj- = sin(φ/2) .

On en déduit les probabilités :
10d’obtenir +1 : P+ = Proj+2 = [cos(φ/2)]2 et
10d’obtenir -1 : P- = Proj-2 = [sin(φ/2)]2 . 10000(1)

On vérifie bien que la probabilité totale est 1 (grâce au théorème de Pythagore!). Ces résultats sont en parfait accord avec les expériences.

2.2 Description quantique de deux spins. Dans l’expérience de pensée du paragraphe 1, la grandeur qui nous intéresse est la moyenne du produit des mesures des deux spins. Ces mesures donnent chaque fois +1 ou –1, mais la moyenne de leur produit est différente, c'est un nombre entre ces deux valeurs, et qui dépend de α et β.

On peut écrire cette moyenne, que nous notons E(α,β), en additionnant les probabilités des 4 cas différents, multipliés chacun par la valeur des mesures correspondantes :
10cas + + : probabilité P++(α,β) que les mesures des spins donnent +1, +1,
10cas – – : probabilité P--(α,β) que les mesures des spins donnent –1, –1,
10cas + – : probabilité P+-(α,β) que les mesures des spins donnent +1, –1,
10cas – + : probabilité P-+(α,β) que les mesures des spins donnent –1, +1.

E(α,β) s’écrit alors :
10E(α,β) = (+1)(+1)P++(α,β) + (–1)(–1)P--(α,β) + (+1)(–1)P+-(α,β) + (–1)(+1)P-+(α,β)
10000000 = P++(α,β) + P--(α,β) – P+-(α,β) – P-+(α,β) . 1000000000000000000000000(2)

Nous établirons la formule générale de E(α,β) au paragraphe 5. Ici nous nous contentons de donner quelques résultats généraux non évidents:
10si α = β , le 2e spin est obligatoirement l’opposé du 1er. Son état est donc un état propre pour la valeur opposée. La probabilité d’obtenir le même résultat est 0 et le résultat opposé est 1.
10si α = β + π/2 , le 2e Stern-Gerlach est perpendiculaire au 1er. La mesure du 2e spin dans une telle direction donne les deux valeurs –1, +1 avec la même probabilité 1/2.
10si α = β + π , les Stern-Gerlach mesurent les spins dans des directions opposées. Le 2e spin a la même orientation que le 2e appareil, il est donc un état propre pour la même valeur que le 1er.

Comme le 1er spin a une probabilité 1/2 de valoir +1 ou –1, on doit encore appliquer un facteur 1/2. On en déduit les probabilités suivantes :
10P++(α,α) = P--(α,α) = 0 , 10P+-(α,α) = P-+(α,α) = 1/2 ,
10P++(α,α + π/2) = P--(α,α + π/2) = 1/4 , 10P+-(α,α + π/2) = P-+(α,α + π/2) = 1/4 ,
10P++(α,α + π) = P--(α,α + π) = 1/2 , 10P+-(α,α + π) = P-+(α,α + π) = 0 .

D’où les moyennes suivantes, en appliquant la formule (2) :
10E(α,α) = –1 1000 E(α,α + π/2) = 0 1000 E(α,α + π) = 1 . 100000000000000000(3)

E(α,β) est aussi appelé le coefficient de corrélation. Il vaut +1 ou –1 dans les cas de corrélation parfaites et il est nul en l'absence de corrélation.


3. L’idée géniale de Bell

John Bell

Prenant au mot Albert Einstein, John Steward Bell (photo) se lance dans la recherche d’une autre théorie, une version voisine de la Mécanique Quantique, qui puisse satisfaire l’illustre physicien. Tout en prenant garde de reproduire des résultats de la Mécanique Quantique, il s’efforce cependant de rester le plus général possible.

Admettre l’existence d’un phénomène physique sous-jacent, inobservé, qui expliquerait le recours aux probabilités, revient à introduire une ou des grandeurs physiques inconnues, que nous désignerons collectivement par la lettre grecque λ. Toute mesure doit alors faire intervenir une moyenne sur des valeurs de λ.

Un peu de mathématique est nécessaire. Une théorie de probabilité, basée sur une grandeur λ, consiste en la donnée de l’ensemble Ω des valeurs de λ, et d’une fonction ρ(λ) donnant un poids particulier à chaque λ. Cette fonction doit être positive ρ(λ) ≥ 0 et normalisée, c’est-à-dire de moyenne 1. Ainsi la moyenne d'une fonction f(λ) sur un sous-ensemble ω de Ω est donnée par la formule
moyenne de f


où le symbole "intégral" signifie qu'on somme sur toutes les valeurs de λ dans ω.

Donnons un exemple de théorie de probabilité. Considérons une révolution du monde du sport, selon laquelle on ne félicite plus celui qui court le plus vite mais celui qui a fourni le plus d’effort. L’ensemble Ω est constitué par la liste des participants à une compétition. Pour chaque participant on multiplie son résultat par un facteur tenant compte de sa taille, son poids, son âge, son genre et ses éventuelles infirmités. Ce facteur, correctement normalisé, constitue la fonction poids. Après avoir déterminé et récompensé le vainqueur on peut calculer la valeur moyenne de la compétition et faire des comparaisons sur diverses années.

Spin dans l'espace

3.1 Cas d’un spin. Donnons explicitement comment Bell traite la mesure du spin d’une particule de spin ½ (j'en donne une forme simplifiée). Supposons le spin dans la direction verticale z, et tournons l’appareil de Stern-Gerlach d’un angle φ dans le direction y.

Proposition pour A

Prenons pour valeurs de λ tous les angles d’analyse possibles. Ainsi Ω = [0, 2π) (l’ensemble des angles en unité de radian). Prenons ρ(λ) =1/2π, une constante, qui est bien positive et normée car

Norme de rho

Il faut aussi définir une fonction "spin", dépendant de φ et λ, que nous notons A(φ,λ), qui vaut toujours soit +1 soit –1. Pour cela, on décompose d'abord l'ensemble Ω en deux parties Ω1 = [0, π) et Ω2 = [π, 2π). On définit alors A(φ,λ) ainsi (voir l'image) :

10si λ ∈ Ω1 : A(φ,λ) = +1 10si λ ∈ [0, π – γ) 10où γ = π (1 – 2 cos (φ/2))/2 10000000000A(φ,λ) = –1 10sinon,

10si λ ∈ Ω2 : A(φ,λ) = –1 10si λ ∈ [π, 2π – γ') 10où γ' = π (2 sin (φ/2) + 1)/2 10000000000A(φ,λ) = +1 10sinon.

Les fonctions Proj+ et Proj- sont données par:
10pour la mesure +1 on restreint λ à Ω1 : Proj+(φ) = ∫Ω1 dλ ρ(λ) A(φ,λ) ,
10pour la mesure –1 on restreint λ à Ω2 : Proj(φ) = ∫Ω2 dλ ρ(λ) A(φ,λ) .

Le calcul des intégrales est simple, il revient à évaluer des longueurs d'arc de cercle de rayon 1, c'est-à-dire des angles (par définition des radians), multipliés par le signe de A(φ,λ) :

10pour la mesure du spin +1 :
Spin + selon Bell



10pour la mesure du spin –1 :
Spin - selon Bell



En mettant au carré on obtient les probabilités (1) sans avoir introduit la notion d’états quantiques !

3.2 Cas de 2 spins. Donnons explicitement comment Bell construit la moyenne du produit des mesures des deux spins E(α,β), définie en (2), dans le cas de l’expérience de pensée du paragraphe 1 (là aussi j’en donne une forme simplifiée).

Nous prenons toujours pour λ les angles du cercle et Ω = [Fonctions pour 2 spins 0, 2π). Le poids est toujours la constante ρ(λ)=1/2π. On définit les fonctions "spin" A(α,λ) pour le premier spin et B(β,λ) pour le second ainsi (voir l'image) :

10A(α,λ) = +1 10si 0 ≤ α + λ < π
10A(α,λ) = –1 10sinon,

10A(β,λ) = –1 10si 0 ≤ β + λ < π
10A(α,λ) = +1 10sinon,

(J'ai choisi le cas de figure où α et β sont du même côté de l'axe y, et β ≥ α. Plus précisément, j’ai admis 0 ≤ β – α ≤ π. Les autres cas se traitent de même mais peuvent conduire à des changement de signes dans les résultats.)

La moyenne E(α,β) est alors identifiée à la moyenne du produit des fonctions A(α,λ) et B(β,λ) :
Moyenne du produit AB

Le calcul s’obtient en additionnant les angles multipliés par les signes correspondant, selon l’image :
Calcul de la moyenne de AB

avec 0 ≤ β – α ≤ π. On trouve pour les cas particuliers suivants :
10si β – α = 0, soit β = α : E(α,α) = –1,
10si β – α = π/2, soit β = α + π/2 : E(α,α+π/2) = 0,
10si β – α = π, soit β = α + π : E(α,α+π) = 1,
en parfait accord avec les résultats de la Mécanique Quantique donnés en (3) ! Et ceci sans utiliser la notion d'état quantique ! Transposé au cas des particules en mouvement, cela laisse suggérer la possibilité de construire une théorie concurrente à Physique Quantique sans les fonctions d’onde !

Mais ne nous emballons pas trop vite ! Car la formule (4) ne donne hélas les résultats observés que pour les trois valeurs de β – α indiquées ci-dessus !


4.L’inégalité de Bell dans la formulation CHSH

Bell ne se contente pas de cette étape. Il veut aller plus loin et prouver que, quelque soit le phénomène caché sous-jacent, une théorie de probabilité ne peut pas reproduire les résultats de la Mécanique Quantique. Il lui faut trouver un critère qui démarque ces deux théories, quel que soit le choix d’une grandeur λ, d'un ensemble Ω et d'une fonction poids ρ(λ).

C’est une inégalité, appelée l’inégalité de Bell, qui va séparer définitivement les deux théories. Je présente une autre inégalité, plus facile à établir, déduite de celle de Bell, parue dans l’article dénommé CHSH, de John Clauser, Michael Home, Abner Shimony et Richard Holt.

Elle consiste à prendre deux valeurs différentes de α et de β, et d’effectuer 4 expériences :
10la 1re avec α et β
10la 2e avec α' et β
10la 3e avec α et β'
10la 4e avec α’ et β’.

On introduit les moyennes E(α,β), E(α',β), E(α,β'), E(α',β') et on forme la grandeur suivante :
10S = E(α,β) + E(α',β) + E(α,β') – E(α',β') 10000000000000000000000000000000 (5)

Notons que S n'a pas d'autre intérêt que de conduire à une inégalité intéressante. Dans une théorie de probabilité quelconque, cette grandeur s’écrit :
10S pour une probabilité générale

En passant à la valeur absolue on trouve l’inégalité :
10Valeur absolue de S

Or l’expression dans la valeur absolue sous l’intégrale ne fait intervenir que des grandeurs valant +1 ou –1. Considérons 4 nombres a, a’, b, b’ valant chacun soit +1, soit –1. L’expression correspondant à la valeur absolue sous l’intégrale est :
10s = ab + a'b + ab'a'b' = (a + a’)b + (aa’)b’ .
Or cette expression ne peut valoir que +2 ou –2. En effet, supposons que a = a’. Alors le 2e terme est nul et dans le premier, a + a’ = 2a ne vaut que +2 ou –2, tandis que b est +1 ou –1. Donc dans ce cas s vaut bien +2 ou –2. Si a = – a’, on trouve le même résultat par un raisonnement analogue.

Revenant à S nous obtenons l’inégalité :
Inégalité de CHSH

C’est l’inégalité de CHSH, parfois aussi appelée l’inégalité de Bell, puisque John Bell est le créateur de ce sujet. Elle est valable pour n’importe quelle théorie de probabilité ambitionnant de remplacer la Mécanique Quantique.


5. La Mécanique Quantique se distingue

alpha et beta, y et z

Calculons maintenant ce que la Mécanique Quantique prédit pour la grandeur S.

Supposons que nous avons mesuré le 1er spin, sous un angle α, puis immédiatement après le second spin sous un angle β.

La grandeur S, définie par (5), se déduit du coefficient de corrélation E(α,β), selon la formule (2), qui nécessite de connaître les probabilités P++(α,β), P--(α,β), P+-(α,β) et P-+(α,β). Ces dernières s'obtiennent, rappelons-le, du carré des projections du vecteur d'état du 2e spin sur les états propres définies par le 2e Stern-Gerlach. Tout un programme ! Or ces projections peuvent être facilement déterminées géométriquement sur une image !

état du 2e spin

Rappelons aussi qu'après la mesure du 1er spin, de valeur disons +1, testée par le 1er Stern-Gerlach dans la direction α, le 2e spin (en rouge) est dans l'état propre de valeur –1 et de direction –α. Le 2e appareil le teste dans la direction β. Le résultat donne +1 ou –1, avec les probabilités donnés par le carré des projections (en vert) sur les nouveaux vecteurs propres (définis cette fois par le 2e Stern-Gerlach).

Il reste à déterminer quel signe (+1 ou –1) est associé à chaque projection. Pour cela il suffit de prendre le cas β = α. Le 2e spin est alors dans l'état propre du 2e Stern-Gerlach pour la valeur –1 (puisqu’on a admis +1 pour le 1er). Donc la projection "cos" est associée à la valeur –1 et son carré donne P+-(α,β). En continuant ce raisonnement et en tenant compte du facteur 1/2 dû à la probabilité des résultats du 1er spin, on trouve :
10Probabilité des 2 spins

En appliquant la formule (2) on obtient pour E(α,β) :
10Coefficient de corrélation

où la dernière étape suit d'une formule célèbre de trigonométrie. Notons que (7) satisfait bien aux résultats (3). Mais pour les autres valeurs de β – α les formules (4) et (7) sont très différentes. Pour s’en convaincre il suffit de calculer S, donné en (5). En utilisant (7) on trouve alors :
10S = – cos(β–α) – cos(β–α') – cos(β'–α) + cos(β'–α')

Choississons alors les angles suivants
10α = 0 , α' = π/2 , β = π/4 , β' = –π/4

ce qui donne pour S
10S en Mécanique Quantique

soit |S| = 2,83... La Mécanique Quantique ne satisfait pas l’inégalité de Bell (6)!


6. Que conclure ?

Nous voilà donc avec deux approches de la Physique sous-microscopique en concurrence :

- la Mécanique Quantique, riche de tous ses succès, qui fait intervenir un hasard bien mystérieux,

- des théories de probabilité, qui expliqueraient l’apparition du hasard par l’entremise d’un processus physique sous-jacent et encore inconnu.

Bell a démontré que des théories de probabilité peuvent reproduire des résultats de la Mécanique Quantique, voire même certains très surprenants comme certaines corrélations de l’expérience EPR améliorée par Bohm.

Bell a également trouvé un critère, une inégalité, qui départage résolument ces deux approches. Dans l'article CHSH une certaine grandeur S est introduite, qui prend des valeurs franchement différentes dans les deux approches.

Il reste à l'expérience à mesurer S et à départager les concurrents, puis à la théorie d'interpréter ce qui en résultera!


7. Références

10Initiation à la Physique Quantique, V. Scarani, Editions Vuibert, Paris, 2006

10On the Einstein Podolsky Rosen paradox, John Stewart Bell, 1964, article original repris
10dans Physics Publishing Co, Physics Vol 1, No 3 (en anglais)

10Trois tests expérimentaux des inégalités de Bell par mesures de corrélation de photons,
10thése de doctorat d'Alain Aspect, Université de Paris Sud, Centre d'Orsay, 1983


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