Promenades dans le Monde Quantique

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5e Promenade: La toupie quantique

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... [ La toupie est un jeu commun et pourtant surprenant: un simple mouvement de rotation lui permet de défier la loi de la gravitation. Comment la Physique aborde-t-elle ce paradoxe?] ...

Le moment cinétique

Pour décrire ce mouvement, à défaut de l'expliquer, le physicien introduit un objet particulier qu'il représente par une flèche, imaginée à l'intérieur de la toupie. Cet objet porte le nom de moment cinétique. La flèche qui le représente (nous la désignerons par la lettre L) est définie comme suit. Sa direction est celle de l'axe de rotation, c'est-à-dire confondue avec l'axe de symétrie de la toupie.

Son sens est déterminé par la célèbre règle du tire-bouchon.

Règle du tire-bouchon

On imagine un tire-bouchon à la place de la toupie, et on lui imprime le même mouvement. Si le tire-bouchon tourne dans le sens des aiguilles d'une montre (pour un observateur qui le regarde par en-dessus) il s'enfonce; si la toupie tourne dans ce sens, L pointe vers le sol. Dans le cas contraire, L a le sens opposé et pointe vers le ciel.

Vitesse de rotation

La longueur de L est déterminée par la vitesse de rotation, c'est-à-dire, pour une toupie donnée, par le nombre de tours par seconde.

Chaque mouvement de rotation de la toupie est décrit par un moment cinétique L bien précis. Inversement, à chaque moment cinétique L correspond un mouvement de rotation bien déterminé.

La stabilité de la toupie peut s'expliquer si on admet la loi générale suivante: le moment cinétique d'une toupie ne change pas au cours du temps (cette loi suppose bien sûr qu'on laisse la toupie tourner sans agir sur elle).

... [ Comme application de cette loi, on montre qu'une petite perturbation ne fait pas chuter la toupie, mais déclenche un autre mouvement de rotation, appelé précession. Pourtant cela ne l'empêchera pas de finir par s'arrêter. Mais cela ne contredit pas notre loi, puisque la toupie subit des frottements contre l'air et contre le sol. ] ...

On peut se demander si le mouvement serait permanent en l'absence de frottements. Or nous disposons d'un exemple de taille: la Terre elle-même! immense et formidable toupie, qui tourne avec une régularité impeccable d'ouest en est, à la vitesse d'un tour par jour, autour d'un axe passant par les deux pôles. [ ... ]

Plongeons de l'infiniment grand dans l'infiniment petit. Les atomes qui voyagent dans l'air sont aussi des toupies! minuscules cette fois, et nous pouvons mesurer leur moment cinétique.

Analyseur de moment cinétique

Un canon lance des atomes sur un analyseur, qui les dévie vers le haut si leur moment cinétique pointe vers le haut, ou vers le bas dans le cas opposé. [ ... ] Un écran sensible intercepte les atomes, après leur déviation. L'expérience complète est réalisée dans le vide.

Qu'allons-nous obtenir, sachant que le canon lance des atomes désordonnés, de moments cinétiques quelconques?

... [ On s'attend à obtenir une tache allongée, formée de tous les impacts entre deux extrêmes. ] ...

Image obtenue

Voilà ce qu'on attend, raisonnablement. L'expérience étant réalisée, regardons l'écran sensible: surprise! On observe tout autre chose! On ne trouve pas ce qu'on attendait, mais un alignement régulier de petites taches, disposées symétriquement.

... [ On a beau tourner l'analyseur dans toutes les directions, on trouve toujours la même chose. ] ...

Qu'en penser, qu'en déduire? Est-ce le moment cinétique lui-même qui est autre, ou est-ce sa mesure qui pose un problème? Nous verrons que c'est tous les deux.

... [ L'analyse de ces résultats curieux nous conduit à admettre les faits suivants. D'abord la longueur des moments cinétiques (liée à la vitesse de rotation) ne peut prendre que certaines valeurs. D'autre part la projection des moments cinétiques le long d'un axe (celui que distingue l'analyseur) ne peut être que discontinue. ] ...

... [ Pour se fixer les idées, on imagine qu'on joue avec une toupie quantique et on décrit les différences de comportement d'avec une toupie classique. ] ...

Revenons à nos atomes et cherchons à caractériser leurs moments cinétiques.

... [ Supposons qu'on a obtenu une image avec cinq taches. ] ...

On l'interprète en disant que le moment cinétique ne peut avoir que cinq projections différentes, chacune étant associée à un tache.

Numérotation des taches

Pour distinguer les taches entre elles, on les numérote de +2 à –2, comme sur le dessin. On décide d'appeler simplement par la lettre m ce numéro (m comme magnétique, car c'est la force magnétique, cachée dans l'analyseur, qui fait apparaître les taches).

... [ Explication de la numérotation dans le cas où l'image a un autre nombre de taches. ] ...

Regardons les différentes images possibles, et numérotons-les à leur tour.

Numérotation des images

Définition des nombres l et m

On distingue ces images par la lettre l, valant le nombre de taches vers le haut (ou vers le bas). l représente la longueur du moment cinétique, elle-même liée à la vitesse de rotation, rappelons-le. l peut prendre les valeurs 0 (pas de moment cinétique), 1, 2, etc... On l'appelle le nombre quantique orbital.

Dans l'image de numéro l, m peut valoir 0 (non dévié), +1, +2, jusqu'à +l d'un côté, –1, –2 , jusqu'à –l de l'autre. m indique la projection du moment cinétique sur l'axe distingué par l'analyseur. On le nomme le nombre quantique magnétique.

Récapitulons. Les moments cinétiques possibles des atomes sont caractérisés par deux nombres entiers l et m. Les différentes valeurs possibles sont:
100l=0, m=0 (pas de moment cinétique)
100l=1, trois cas: m=1, m=0, m= –1
100l=2, cinq cas: m=2, m=1, m=0, m= –1, m= –2
100l=3, sept cas: m=3, m=2, m=1, m=0, m= –1,m= –2, m= –3
100etc...

Revenons enfin à l'atome d'hydrogène. L'électron autour du noyau peut être flanqué d'un moment cinétique (bien qu'il est difficile d'imaginer une onde stationnaire en rotation... je reviendrai là-dessus tout à l'heure). L'étude complète du problème revient à résoudre l'équation de Schrödinger.

Rappelons que cette équation détermine toutes les ondes stationnaires possibles. Chacune est caractérisée par trois nombres entiers:
100n, le nombre de nœuds, ou nombre quantique principal
100l, le nombre quantique orbital
100m, le nombre quantique magnétique.

... [ Comme le nombre de nœuds indique l'énergie, et que le moment cinétique en consomme, on s'attend qu'à n fixé, l soit limité. En fait l'équation de Schrödinger impose que l ne dépasse jamais n. ] ...

Représentons chaque onde stationnaire possible par un rectangle où figurent trois nombres, respectivement n, l et m. En utilisant les contraintes existant entre ces nombres on obtient le tableau suivant.

Ensemble des cas possibles

Laisse-moi te décrire les surfaces nodales obtenues en résolvant l'équation de Schrödinger, pour une onde ayant n nœuds.

Si l=0 (pas de moment cinétique) on retrouve les ondes discutées la semaine dernière. Les n surfaces nodales sont des surfaces de sphères dont le noyau de l'atome occupe le centre.

Surface nodale l=1,m=0

Pour l=1 on trouve d'abord n–1 surfaces de sphères, et une dernière surface nodale dépendant de m. Décrivons le cas où l'analyseur dévie les atomes verticalement. Si m=0 la ne surface nodale est le plan horizontal passant par le noyau.

Contrairement au cas l=0, cette dernière surface passe par le noyau. Ainsi au point même où la force électrique est la plus intense l'onde est toujours nulle! Contrairement au cas l=0 encore, cette surface nodale n'est pas la même dans toutes les directions autour du noyau. Certaines directions dans l'espace sont distinguées parmi toutes les autres: celles situées dans le plan horizontal (perpendiculaire à l'orientation de l'analyseur). C'est ainsi que se manifeste un moment cinétique en Physique Quantique et qu'il faut comprendre la notion d'"onde stationnaire en rotation".

Surfaces nodales l=2 et m=0


... [ Laissons de côté les cas l=1, m=1 et m=-1, pour considérer les plus grands moments cinétiques. Ils conduisent à des images toujours plus intéressantes. Par exemple le cas l=2 et m=0 donne les deux surfaces nodales suivantes. ] ...

Surfaces nodales l=3 et m=0


... [ Tandis que le cas l=3 et m=0 conduit aux trois surfaces nodales ci-contre (dans ces images, les cônes et plans doivent être considérés comme s'étendant jusqu'à l'infini).] ...



[...] L'apparition de ces ondes stationnaires et de ces surfaces nodales est une originalité de la Physique Quantique. Il n'y a rien de correspondant dans la Physique Classique. L'abandon du continu pour le discontinu, qui semble à priori appauvrir l'ensemble des cas possibles, conduit plutôt à une richesse d'images et de situations diverses surprenante. On s'était émerveillé des performances de la toupie «classique»... Que dire maintenant de la toupie «quantique»?



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